圆锥曲线专题精选

近三年广东高考圆锥曲线考题（解答题）特点：

1．题目位置前移，难度降低，己成为中档题；

2．都在知识交汇处设计试题，常有两个圆锥曲线作载体；

3．突出考查方程和方程组的方法。

2009年高考展望预测：坚持这几年成功的命题方向，主要是难度和风格，

但要强化圆的地位，弱化双曲线，关注函数与圆锥曲线交汇处的试题。

                     (1)

解答题：解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．

1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，过点、分别作抛物线的切线和．

（1） 证明：；

（2）设切线和交轴于、,当直线转动时,

求四边形面积的最小值．

2．设点，点在轴上移动，点在轴正半轴上移动，动点满足：①；②。

（1）求点的轨迹方程；

（2）若；经过中点的直线交轴于，且，设； ①求数列的通项公式；②试比较与的大小．

3．已知函数和的图像关于点（1，2）对称，且。

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）把的图像绕它的顶点逆时针方向旋转，并把图像按向量＝（1，1）（向左和向上分别移1个单位）平移得到新的曲线C。

（1）       写出曲线C的方程及焦点坐标；

（2）       过焦点作直线交C于A、B，交轴于D，若∶＝1∶2，求直线OA、OB的斜率。

4． 已知在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中以为正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比．

(1) 已知曲线的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的标准方程；

(2) 射线的方程，如果椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆分别交于两点，且，求椭圆的标准方程；

(3) 对抛物线，作变换，得抛物线；对作变换得抛物线，如此进行下去，对抛物线作变换,得抛物线．若，求数列的通项公式．

                                 (2)

解答题：解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．

1．已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。

   （1）求椭圆的标准方程；

   （2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求的值。

2．椭圆的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且P F1⊥PF2, | P F1|=, | P F2|=.

（I）求椭圆C的方程；

（II）若直线L过圆的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。

3．已知直线1：mx－y＝0， 2：x＋my－m－2＝0.

（1）求证：1 ⊥ 2

（2）求证：对m的任意实数值，1和2的交点P在一定圆上；

（3）若1与定圆另一交点为P1，2与定圆另一交点为P2，求当ΔPP1P2的面积取得最大值时1的方程。

4 已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p 

(1)求a的取值范围 

(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值

5、有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按图示方法进行折叠，使每次折叠后点B都落在AD边上，此时将B记为（注：图中EF为折痕，点F也可落在边CD上）。过作交EF于T点，求T点的轨迹方程。

6．.设，椭圆方程为，抛物线方程为如图6所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点。

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P,使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）

                                (3)

解答题：解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．

1． 在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．

   （Ⅰ）求圆C的方程；

   （Ⅱ）设定点A是圆C经过的某定点（其坐标与无关），问是否存在常数使直线与圆交于点，且．若存在,求的值;若不存在,请说明理由.

2．设x1、x2ÎR,常数m＞0,定义运算“*”：.

(1)  若x≥0,,求动点P(x,y)的轨迹C的方程并说明轨迹C的形状；

(2)  设A(x,y)是坐标平面上任一点,定义d1(A)=,

d2(A)=,计算d1(A)、d2(A),并说明d1(A)和d2(A)的

几何意义；

(3)  在(1)中的轨迹C上，是否存在不同两点A1(x1,y1)、A2(x2,y2)，使之满足d1(Ai)=?d2(Ai)(i=1,2)，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

3．设F1、F2分别为椭圆C： (a＞b＞0)的左、右焦点.（1）设椭圆C上的点 到F1、F2两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标． （2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.

4、半径为1的圆柱体与地平面切于B点，在离地平面距离为3的上方放一个与地平面平行的平面镜，在圆柱体的左侧地面上有一点光源A，AB=5，如图，求地面上圆柱体右侧被光照射的长度MN。

 

 

 

 

 

 

5. 在平面内,已知定点A定到直线L的距离为，动点M到A点的距离等于它到直线L的距离.

(1)建立适当的坐标系，求动点M的轨迹方程;

(2)设点 , 在(1) 中的轨迹上，若，

证明： 、、A三点共线.

(4)    在(2) 条件下求∆（O是坐标原点）的最小面积.

                        

 (4)

  解答题：解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．

1． 已知圆，内接于此圆，点的坐标，为坐标原点．

   （Ⅰ）若的重心是,求直线的方程；（三角形重心是三角形三条中线的交点，并且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍）

   （Ⅱ）若直线与直线的倾斜角互补，求证：直线的斜率为定值．

2．如图直线与相交于点，，点，以为端点的曲线上的任意一点到的距离与到点的距离相等，若是锐角三角形，建立适当的坐标系，求曲线的方程。

3．已知双曲线的两个焦点分别为且.又双曲线C上的任意一点E满足

   （1）求双曲线C的方程；

   （2）若双曲线C上的点P满足的值；

（3）若直线与双曲线C交于不同两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A（0，－1），求实数m的取值范围.

4．有一幅椭圆型彗星轨道图，长4cm，高，如下图，已知O为椭圆中心，A1，A2是长轴两端点，太阳位于椭圆的左焦点F处.

   （Ⅰ）建立适当的坐标系，写出椭圆方程，并求出当彗星运行到太阳正上方时二者在图上的距离；

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                   (5)

解答题：解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．

1．已知m∈R，直线l：和圆C：。

（1）求直线l斜率的取值范围；

（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？

2．过点T（2，0）的直线交抛物线y2=4x于A、B两点.

（1）若直线l交y轴于点M，且当m变化时，求的值；

（2）设A、B在直线上的射影为D、E，连结AE、BD相交于一点N，则当m变化时，点N为定点的充要条件是n=－2.

3．在平面直角坐标系，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．

（1）求圆的方程；

（2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

4．设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.求

(I)求点的坐标；

(II)求动点的轨迹方程.

5、设直线与椭圆相交于A、B两点。

    (1) 线段AB中点M的坐标及线段AB的长；

(2) 已知椭圆具有性质：设A、B是椭圆上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，并记为kAB，kOM，则kAB×kOM为定值。试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。

 

 

 

 

                          (1)

1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，过点、分别作抛物线的切线和．

（1） 证明：；

（3）设切线和交轴于、,当直线转动时,

求四边形面积的最小值．

1．解：（1）设直线的方程为，联列得：，所以．

（3）由（2）得，过点、作轴的垂线，垂足分别为．

由于不妨设，

=，由于，

所以

  =，设，

则，且，

而，得或，

所以在递增，从而在递增，所以．

2．设点，点在轴上移动，点在轴正半轴上移动，动点满足：①；②。

（1）求点的轨迹方程；

（2）若；经过中点的直线交轴于，且，设；

      ①求数列的通项公式；②试比较与的大小．

 

2．解：（1）设，，则；∴；；

解得：，∵∴点的轨迹方程为：．

（2）若由（1）知：点的纵坐标是，代入得：，∴，设的中点为

∵，∴，∴为的中垂线，

∴的方程为：；令得：；

∴

∴

；∴只要比较与的大小；

易知：时；

当时，。

综上所述：时；当时．

3．已知函数和的图像关于点（1，2）对称，且。

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）把的图像绕它的顶点逆时针方向旋转，并把图像按向量＝（1，1）（向左和向上分别移1个单位）平移得到新的曲线C。

（3）       写出曲线C的方程及焦点坐标；

（4）       过焦点作直线交C于A、B，交轴于D，若∶＝1∶2，求直线OA、OB的斜率。

3．解∶（Ⅰ）设点P（，）在函数的图像上，Q（，）是P关于（1，2）的对称点，则Q（，）在的图像上，且

，

∴

代入得

∴解析式是

                   y

 

               

                     O      x

 

                 B

（Ⅱ）（1），它的图像是顶点为（－1，－1），开口向上的抛物线，把的图像绕顶点逆时针方向旋转，并把图像按向量＝（1，1）平移得到的曲线C的方程为，焦点坐标为（0，）

（2）设的方程为

由     消去，整理得

设A、B两点的坐标分别为A（，）、B（，），显然<0、<0

则 

∵∶＝1∶2

∴∶＝1∶2

∴(-)∶ (-)=1∶2

  (3)

由（1）（2）（3）三式解得 ，，

4． 已知在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中以为正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比．

(1)已知曲线的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的标准方程；

(2)射线的方程，如果椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆分别交于两点，且，求椭圆的标准方程；

(3)对抛物线，作变换，得抛物线；对作变换得抛物线，如此进行下去，对抛物线作变换,得抛物线．若，求数列的通项公式．

4．解 (1) 由条件得，得：；

(2) “伸缩变换”，对作变换，

得到，（3分）

解方程组得点A的坐标为；

解方程组得点B的坐标为； ＝＝，

化简后得，解得，

因此椭圆的方程为或．

(3)对：作变换

得抛物线：得，

又，即，

＝,

则，（13分）

（或解：）

又，．

                              (2)

1． 解：（1）∵点是线段的中点 

∴是△的中位线

又∴

∴

∴椭圆的标准方程为=1

 

  （2）∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点

∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2

 

在△ABC中，由正弦定理，

 

∴＝

2 解法一：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.

在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=,

从而b2=a2－c2=4,

  所以椭圆C的方程为＝1.

(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.   由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.   从而可设直线l的方程为   y=k(x+2)+1,

   代入椭圆C的方程得  （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.

   因为A，B关于点M对称.   所以   解得，

所以直线l的方程为   即8x-9y+25=0.   (经检验，符合题意)

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.

   设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且

                      ①

                    ②

由①－②得                  ③

因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,

代入③得＝，即直线l的斜率为，

所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)

3．（1）∵m?1 ＋ （－1）?m ＝ 0，∴1 ⊥ 2    

（2）联立方程组，消去m得，

（3）由

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