江苏省扬州市2009高三教学情况调查（一）
数 学
一、 填空题：本大题共14题，每小题5分，共70 分。
1．若集合
，
，则集合
的元素个数为
2．已知
，
是虚数单位，若
，则a+b的值是
3．式子
的值为
4．正方体的内切球与其外接球的体积之比为____________.
5．在等比数列{
}中，若
，则
_____.
6.如果实数x,y满足x2+y2=1,则（1+xy）(1－xy)的最小值为
7．已知
且
，那么
____________
8．泰州实验中学有学生3000人，其中高三学生600人．为了解学生的身体素质情况，
采用按年级分层抽样的方法，从学生中抽取一个300人的样本．
则样本中高三学生的人数为 ．
9．函数
的单调减区间为____________________．
10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 ．
11．在平面直角坐标系中，点
的坐标分别为
．
如果
是
围成的区域（含边界）上的点，那么当
取到最大值时，
点
的坐标是
．
12．如图所示，在△OAB中，OA＞OB，OC＝OB，设＝a，＝b，若＝λ?，则实数λ的值为 （用向量a，b 表示 ）
13． 若不等式
成立的一个充分非必要条件是
，则实数
的取值范围是
。
14．在计算“
”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第
项：
，由此得
，
，
相加，得
．
类比上述方法，请你计算“
”，其结果写成关于
的一次因式的积的形式为
．
二、 解答题：本大题共90分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。
15．（本小题满分14分）
已知△ABC的面积S满足3≤S≤3
且
的夹角为
，
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）求
的最小值。
16．（本小题满分14分）
在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAD⊥平面ABCD.
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）若平面PAB
平面PCD
，问：直线l能否与平面ABCD平行？
请说明理由.
17．（本小题满分14分）
已知数列
、
中，对任何正整数都有：
．
（1）若数列是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列是等比数列；
（2）若数列是等比数列，数列是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；
18．（本小题满分16分）
已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料
元/千克，每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下: 7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付.
（Ⅰ）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？
（Ⅱ）设该厂
天购买一次配料，求该厂在这天中用于配料的总费用
（元）关于的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?
19．（本小题满分15分）
如图，椭圆
(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，M、N是椭圆右准线上的两个动点，
且
.
（1）设C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系；
（2）设椭圆的离心率为
，MN的最小值为
，求椭圆方程.
20．（本小题满分16分）
已知函数
（I）求曲线
处的切线方程；
（Ⅱ）求证函数
在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，
≈1.6，e0.3≈1.3）
（III）当
试求实数
的取值范围。
1．3； 2 ． -1； 3． -2；4．
5．3 6.
7 ．
8. 
9. （0,1） 10. 
11.
.
12． 
；13． 
；14． 
;
15．解：（Ⅰ）由题意知
……………………3分
……………………4分
的夹角
……………………7分
（Ⅱ）
……………………10分
有最小值。
的最小值是
……………………14分
16．解：（1）【证明】因为∠ABC=90°，AD∥BC，所以AD⊥AB.
而平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB
平面ABCD=AB,
所以AD⊥平面PAB, 所以AD⊥PA. ………………3分
同理可得AB⊥PA. ………………5分
由于AB、AD
平面ABCD，且ABAD=C,
所以PA⊥平面ABCD. ………………………7分
（2）【解】（方法一）不平行. ………………………9分
证明：假定直线l∥平面ABCD,
由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD, 所以
∥CD. ……………… 11分
同理可得l∥AB, 所以AB∥CD. …………………… 13分
这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰相矛盾,
故假设错误，所以直线l与平面ABCD不平行. …………………… 14分
（方法二）因为梯形ABCD中AD∥BC,
所以直线AB与直线CD相交，设ABCD=T.
…………………… 11分
由T
CD，CD平面PCD得T平面PCD.
同理T平面PAB.
…………………… 13分
即T为平面PCD与平面PAB的公共点，于是PT为平面PCD与平面PAB的交线.
所以直线与平面ABCD不平行.
…………………… 14分
17．解：（1）依题意数列
的通项公式是
，
故等式即为
，
同时有
，
两式相减可得
………………………………3分
可得数列
的通项公式是
，
知数列是首项为1，公比为2的等比数列。 ………………………6分
（2）设等比数列的首项为
，公比为
，则
，从而有：
，
又
，
故
……………………………9分
，
要使
是与
无关的常数，必需
， …………………………11分
即①当等比数列的公比时，数列是等差数列，其通项公式是
；
②当等比数列的公比不是2时，数列不是等差数列． ………………14分
18．解：（Ⅰ）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用
P=70+
=88(元)
……………………………4分
（Ⅱ）（1）当x≤7时
y=360x+10x+236=370x+236 ………………5分
（2）当 x>7时
y=360x+236+70+6[(
)+(
)+……+2+1]
=
………………7分
∴
………………8分
∴设该厂x天购买一次配料平均每天支付的费用为f(x)元
………………11分
当x≤7时
当且仅当x=7时
f(x)有最小值
（元）
当x＞7时
=
≥393
当且仅当x=12时取等号
∵393<404
∴当x=12时 f(x)有最小值393元 ………………16分
19．解：（1）设椭圆
的焦距为
则其右准线方程为x＝
，且F1(－c, 0), F2(c, 0).
……………2分
设M
，
则
＝
.
……………………4分
因为
，所以
，即
.
于是
，故∠MON为锐角.
所以原点O在圆C外. ………………………7分
（2）因为椭圆的离心率为
，所以a=
于是M 
，且
………………………9分
MN2＝(y1－y2)2＝y12+y22－2y1y2
.………… 12分
当且仅当
y1＝－y2＝
或y2＝－y1＝时取“=”号，
………………… 14分
所以(MN)min=
故所求的椭圆方程是
. ………………… 16分
22．解：（Ⅰ）
，………………………………1分
又
，
处的切线方程为
………………………3分
（Ⅱ）
，
…………………………………………4分
令
，
则
上单调递增，
上存在唯一零点，
上存在唯一的极值点………6分
取区间
作为起始区间，用二分法逐次计算如下
区间中点坐标
中点对应导数值
取区间
1
0.6
0.3
由上表可知区间的长度为0.3，所以该区间的中点
，到区间端点距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2的一个极值点的相应x的值。
取得极值时，相应
………………………9分
（Ⅲ）由
，
即
，
，………………………………………12分
令
令
上单调递增，
，
因此
上单调递增，
则
，
的取值范围是
………………………………………16分