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《空间向量与立体几何》

一、填空题

1．如图所示，为．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2【江苏?扬州】4．长方体中，，则与平面

所成的角的大小为 ★ ．

3．【江苏?苏北四市】10.给出下列关于互不相同的直线m、

l、n和平面α、β的四个命题：

①若；

②若m、l是异面直线，；

③若；

④若

其中为真命题的是▲ ①②④ .

4．【江苏?苏北四市】14．若RtΔABC中两直角边为a、b,斜边c上的高为

h，则，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC，PO

为棱锥的高，记M=,N=,那么M、N的大小关系

是▲M=N ．

5．【江苏?苏州】已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，

有下列四个命题：

①若，m⊥n，则；

②若，则；

③若，则；

④若，则．

其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_______①④________．

6．【江苏?泰州实验】13.已知正四棱锥P―ABCD的高为4，侧棱长与底面所成的角为，则该正四棱锥的侧面积是．

7．【江苏?泰州】3、已知、是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：

①若，则； ②若，则；

③若上有两个点到的距离相等，则； ④若，则。

其中正确命题的序号是 ② ④

8．【江苏?泰州】11、正三棱锥高为2，侧棱与底面成角，则点A到侧面的距离是

9．【江苏?盐城】13.如图,在三棱锥中, 、、两两垂直,且.设是底面内一点,定义,其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积.若,且恒成立,则正实数的最小值为____▲1____.

二、计算题

1．【江苏?无锡】16．（本小题满分14分）

直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，

∠BAD＝∠ADC＝90°，．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；

（Ⅱ）在A₁B₁上是否存一点P，使得DP与平面BCB₁与

平面ACB₁都平行？证明你的结论．

证明：（Ⅰ）直棱柱中，BB₁⊥平面ABCD，BB₁⊥AC． ………………2分

又∠BAD＝∠ADC＝90°，，

∴，∠CAB＝45°，∴， BC⊥AC．………………5分

又，平面BB₁C₁C， AC⊥平面BB₁C₁C． …7分

（Ⅱ）存在点P，P为A₁B₁的中点． ……………………………………8分

证明：由P为A₁B₁的中点，有PB₁‖AB，且PB₁＝AB．……………………9分

又∵DC‖AB，DC＝AB，DC ∥PB₁，且DC＝ PB₁，

∴DC PB₁为平行四边形，从而CB₁∥DP．…………………………11分

又CB₁面ACB₁，DP面ACB₁，DP‖面ACB₁．………………………………13分

同理，DP‖面BCB₁．…………………………………………………14分

评讲建议：

本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，第一小题要引导学生挖掘直角梯形ABCD中BC⊥AC，第二小题，要求学生熟练掌握一个常用结论：若一直线与两相交平面相交，则这条直线一定与这两平面的交线平行；同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性，这里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证明之，这事实上证明了结论是充分且必要的．

2．【江苏?淮、徐、宿、连】16.(本小题满分14分)

如图，四边形ABCD为矩形，BC上平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

(1)求证：AE⊥BE；

(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．

求证：MN∥平面DAE．

【解】（1）证明：因为，，

所以，………………………………………………2分

又，，

所以， ……………………………………………4分

又，所以……………………………………………6分

又，所以．……………………………………………8分

（2）取的中点，连接，因为点为线段的中点．

所以||，且， ……………………………………………………10分

又四边形是矩形，点为线段的中点，所以||，且，

所以||，且，故四边形是平行四边形，所以||…………12分

而平面，平面，所以∥平面．　 …………………14分

3．

【江苏?淮、徐、宿、连】22.在正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，

F是BC的中点，点E在D₁C₁上，且D₁E=D₁C₁,试求直线

EF与平面D₁AC所成角的正弦值.

【解】设正方体棱长为1，以为单位正交基

底，建立如图所示坐标系，则各点的坐标分别为

,, ，……………………2分

所以，， ……………………4分

为平面的法向量，

.……8分

所以直线与平面所成角的正弦值为.………………………………10分

4．【江苏?南通】15．（本小题14分）

如图，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，点D在边BC上，AD⊥C₁D．

（1）求证：AD⊥平面BC C₁ B₁；

（2）设E是B₁C₁上的一点，当的值为多少时，

A₁E∥平面ADC₁？请给出证明．

解: （1）在正三棱柱中，C C₁⊥平面ABC，AD平面ABC，

∴ AD⊥C C₁．………………………2分

又AD⊥C₁D，C C₁交C₁D于C₁，且C C₁和C₁D都在面BC C₁ B₁内，

∴ AD⊥面BC C₁ B₁． ……………………………………………5分

（2）由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中点．…………7分

当，即E为B₁C₁的中点时，A₁E∥平面ADC₁．…………………8分

事实上，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，四边形BC C₁ B₁是矩形，且D、E分别是BC、B₁C₁的中点，所以B₁B∥DE，B₁B= DE． ……………………10分

又B₁B∥AA₁，且B₁B=AA₁，

∴DE∥AA₁，且DE=AA₁． …………………………………………12分

所以四边形ADE A₁为平行四边形，所以E A₁∥AD．

而E A₁面AD C₁内，故A₁E∥平面AD C₁． …………………………14分

5．【江苏?启东中学模拟】

∠ACB=90⁰，AC=1，C点到AB₁的距离为CE=，D为AB的中点.

（1）求证：AB₁⊥平面CED；

（2）求异面直线AB₁与CD之间的距离；

【解】（1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90⁰，∴CD⊥AB又AA₁⊥平面ABC，∴CD⊥AA₁.

∴CD⊥平面A₁B₁BA ∴CD⊥AB₁，又CE⊥AB₁， ∴AB₁⊥平面CDE；

（2）由CD⊥平面A₁B₁BA ∴CD⊥DE

∵AB₁⊥平面CDE ∴DE⊥AB₁

∴DE是异面直线AB₁与CD的公垂线段

∵CE=，AC=1 , ∴CD=

∴；

6．【江苏?启东中学】16．（本题满分14分，第1问4分，第2问5分，第3问5分）

如下的三个图中，分别是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图以及它的主视图和左视图（单位：cm）

（1）按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；

（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

（3）在所给直观图中连结，证明：面．

【解】（1）如图

------------4分

（2）所求多面体体积．--------9分

（3）证明：在长方体中，

连结，则．

因为分别为，中点，所以--11分

从而．又平面，所以面． --------------14分

7．【江苏?苏北四市】16. (本题满分14分)

如图，已知空间四边形中，，是的中点．

求证：（1）平面CDE；

（2）平面平面．

（3）若G为的重心,试在线段AE上确定一点F,使得GF平面CDE．

【解】证明：（1）同理，

又∵ ∴平面．　　…………………5分

（2）由（1）有平面

又∵平面， ∴平面平面．………………9分

（3）连接AG并延长交CD于H，连接EH，则，

在AE上取点F使得，则，易知GF平面CDE．…………………14分

8．【江苏?苏北四市】4. 已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知。

（I）求证：平面；

（II）求到平面的距离；

（III）求二面角余弦值的大小。

【解】（I）如图，取的中点，则，因为，

所以，又平面，

以为轴建立空间坐标系，

则，，，

，，

，，

，由，知，

又，从而平面；

（II）由，得。

设平面的法向量为，，，所以

，设，则

所以点到平面的距离。

（III）再设平面的法向量为，，，

所以

，设，则，

故，根据法向量的方向，

可知二面角的余弦值大小为

9．17．【江苏?苏州】（本小题满分15分）

在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．

（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；

（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；

（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．

【解】（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，

∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

∴CD＝2，AD＝4．

∴S_ABCD＝

．……………… 3分

则V＝． ……………… 5分

（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，

∴AF⊥PC． ……………… 7分

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E为PD中点，F为PC中点，

∴EF∥CD．则EF⊥PC． ……… 9分

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 10分

（Ⅲ）证法一：

取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．

∵EM 平面PAB，PA平面PAB，

∴EM∥平面PAB． ……… 12分

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，

∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．

∵MC 平面PAB，AB平面PAB，

∴MC∥平面PAB． ……… 14分

∵EM∩MC＝M，

∴平面EMC∥平面PAB．

∵EC平面EMC，

∴EC∥平面PAB． ……… 15分

证法二：

延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．

∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，

∴C为ND的中点． ……12分

∵E为PD中点，∴EC∥PN．……14分

∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，

∴EC∥平面PAB． ……… 15分

10．【江苏?泰州实验】16. (本题满分14分)四棱锥中，底面为矩形，

侧面底面，．

（Ⅰ）取的中点为，的中点为，证明：面；

（Ⅱ）证明：．

【解】 (1)取的中点为连可以证明

面面，面…………………6分

（2）取中点，连接交于点，

，

，

又面面，

面，

．………………….10分

，

，

，即，

面，

．………………….14分

11．【江苏?泰州实验】3.（本小题满分10分）右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知,，．

（1）设点是的中点，证明：平面；

（2）求二面角的大小；

【解】解法一：

（1）证明：作交于，连．

则．

因为是的中点，

所以．

则是平行四边形，因此有．

平面且平面，

则面．……………….5分

（2）如图，过作截面面，分别交于．

作于，连．

因为面，所以，则平面．

又因为．

所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角．

因为，所以，故，

即：所求二面角的大小为．……………….10分

解法二：

（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则因为是的中点，所以，

．

易知，是平面的一个法向量．

因为平面，

所以平面．……………….5分

（2），

设是平面的一个法向量，则

则得：

取．

显然，为平面的一个法向量．

则，结合图形可知所求二面角为锐角．

所以二面角的大小是．……………….10分

12．【江苏?泰州】16、如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的

中点．

（1）求证：//平面；

（2）求证：；

（3）求三棱锥的体积．

【解】证明：（1）连结，在中，、分别为，的中点，则

（2）

（3）

且

，

∴ 即

=

=

13．【江苏?盐城】16. (本小题满分14分)

如图,在四棱锥中,侧面底面,侧棱,底面是直角梯形,其中,,,是上一点.

(Ⅰ)若,试指出点的位置；

(Ⅱ)求证:.

【解】 (Ⅰ)解:因为,,且,

所以………………………………………………………(4分)

又,所以四边形为平行四边形,则……………………………………(6分)

而,故点的位置满足…………………………………………………(7分)

(Ⅱ)证: 因为侧面底面,,且,

所以,则………………………………………(10分)

又,且,所以 ………(13分)

而,所以………………………(14分)

14．【江苏?盐城】22．（本小题满分10分）

如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.

（Ⅰ）求点A到平面PBD的距离；

（Ⅱ）求二面角A―PB―D的余弦值.

【解】解:以OA、OB所在直线分别x轴，y轴,以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，…(2分)

（Ⅰ）设平面PDB的法向量为,

由,

所以=………………………………(5分)

（Ⅱ）设平面ABP的法向量，，

,，

,而所求的二面角与互补,

所以二面角A―PB―D的余弦值为………………………………………(10分)

15．【江苏?常州】16.（14分）如图，在组合体中，是一个长方体，是一个四棱锥，

，点平面且

（1）证明：平面；

（2）证明：平面。

【解】（略）