2009届高中毕业班第三次模拟考试题
理科数学
本试卷分第I卷（选择题共60分）和第Ⅱ卷（非选择题共90分）。考试时间120分钟，满分150分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页考试结束后，只需上交答题卡。
注意事项：
1．答题前，考生务必在答题卡上用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，请认真核对准考证号、姓名和科目。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
参考公式：
如果事件
互斥，那么
如果事件相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是
，那么
次独立重复试验中恰好发生
次的概率
球的表面积公式：
其中R表示球的半径
球的体积公式：
其中R表示球的半径
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。）
1．已知全集
，集合
，则
A．
B．
C．
D．
或
2．对于两条直线
，
和平面
，若
，则
是
的
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．以曲线
上的点（1，-1）为切点的切线方程是
A．
B．
C．
D．
4．定义运算
则函数
的最小正周期是
A．2
B． C．
D．
5．满足
的复数
是
A．
B．
C．
D．
6．函数
的反函数是
A．
B．
C．
D．
7．在
的展开式中，常数项为15，则
=
A．3 B．
8．已知
为线段
上距A较近的一个三等分点，
为线段
上距C较近的一个三等分点，则用
表示
的表达式为
A．
B．
C．
D．
9．已知公差不为0的等差数列
的前5项和为-20，若
成等比数列，则
A．-4 B．
10．曲线
（
为参数）与直线
有公共点，那么实数的取值范围是
A．（1，2）
B．
C．
D．
11．已知定义在R上的函数
的图象关于点
对称，且满足
，
，则
的值是
A．2
B．
12．已知
且
<0，若
，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
本卷共10小题，用黑碳素笔将答案答在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知
满足
，则
的最小值是_____________。
14．已知椭圆的短轴长、长轴长、两准线间的距离成等比数列，则比椭圆的离心率
______________。
15．一个球与一个正八面体的八个面都相切，已知这个球的体积为
，那么这个正八面体的体积是________________。
16．数字1，2，3，4，5，6按如图形式随即排列，设第一行这个数
所有排列的个数是_____________。
三、解答题：本大题有6小题，共70分。解答应写出问字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
在
中，角A、B、C所对的边分别是
，又
.
（1）求
的值；
（2）若
的面积
，求的值
18．（本小题满分12分）
2008年12月底，一考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确出是相互独立的，并且每一道题被该考生正确做出的概率都是
。
（1）若该考生至少正确做出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率；
（2）如果记该考生答完4道题后所答对的题数为
，求的分布列、数学期望与方差。
19．（本小题满分12分）
如图，已知直平行六面体
中，
，
（1）求证：
；
（2）求二面角
的大小
20．（本小题满分12分）
已知三次函数的导数
为实数，
（1）若在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（2）设函数
试判断函数的极值点个数。
21．（本小题满分12分）
已知点
是平面上一动点，且满足
（1）求点
的轨迹C对应的方程；
（2）已知点
在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦
，且的斜率
=2试推断：动直线
是否过定点？证明你的结论。
22．（本小题满分12分）数列中，
，且前项和
满足
，
（1）求
；
（2）令
数列
的前项和为
，当
时，求证：
。
2009届高中毕业班第三次模拟考试题
一、选择题：（共60分）
1．D 2．D 3．B 4．B 5．A 6．C 7．D 8．A 9．B 10．C 11．A 12．C
二、填空题；（本大题共5小题，每小题5分，共20分）
13．3 14．
15．
16．240
三、解答题：本大题有6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．解：（1）
1分
5分
（2）
7分
由余弦定理
9分
10分
18．（1）记“这名考生通过书面测试”为实践A，则这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道题或4道题，故
4分
（2）由题意得
的所有可能取值分别是0，1，2，3，4，且-B（4，
）。
的分布列为：
0
1
2
3
4
19．解法一：
（1）在直平行六面体
-
中，
又
4分
又
6分
（2）如图，连
易证
，又
为
中点，
8分
取
中点
，连
，则
，
作
由三垂线定理知：
，则
是
二面角
的平面角
10分
在
中，易求得
中，
则二面角的大小为
12分
解法二：
（1）以
为坐标原点，射线
为
轴，建立如图所示坐标为
，
依题设，
又
6分
（2）由
8分
由（1）知平面
的一个法向量为
=
取
，
10分
二面角的大小为
20．解：（1）由已知得
由
由题意得
故
为所求
（2）解：
二次函数
的判别式为：
令
令
当
时，此时方程
有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数
有两个极值点
21．解：（1）设
代入
得
化简得
（2）将
代入
得
，
法一：
两点不可能关于轴对称，
的斜率必存在
设直线
的方程
由
7分
且
8分
将
代入化简
将
代入
得
，过定点(-1.-2)
将
入得
，过定点（1，2）即为A点，舍去
直线过定点为（-1，-2）
法二：设
则
同理
，由已知得
设直线的方程为
代入
得
直线的方程为
即
直线过定点（-1，-2）
22．解：（1）由
于是
即
有
（2）由（1）得
而
=
=
当
故命题得证