数学20分钟专题突破27
函数与方程的思想
一.选择题
1.若函数
分别是
上的奇函数、偶函数，且满足
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
2.于x的方程
的两根
满足
，则k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.，动点
在正方体
的对角线
上．过点作垂直于平面
的直线，与正方体表面相交于
．设
，
，则函数
的图象大致是（ ）
二.填空题
1.设
，若仅有一个常数c使得对于任意的
，都有
满足方程
，这时，
的取值的集合为
。
2.
，若关于
的方程
有实根，则的取值范围是
．
3.当
时，不等式
恒成立，则
的取值范围是
三.解答题
3.、
分别是椭圆
的左、右焦点.
（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求
的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点
，
的直线
与椭圆交于两不同的点
、
，且
为锐角（其中
为坐标原点），求直线的斜率
的取值范围.
答案：
一.择题题
1. 解：因为，用
替换
得：
因为函数分别是上的奇函数、偶函数，所以
，又
解得：
，而
单调递增且
，∴
大于等于0，而
，故选
。
2. 解：设函数
，∵关于x的方程的两根满足，∴
即
∴
，故选择
。
3. 
解：设正方体的棱长为
，由图形的对称性知
点始终是
的中点，
而且随着点从点向
的中点滑动，
值逐渐增大到最大，再由中
点向
点滑动，而逐渐变小，排除
，把向平面
内正投
影得
，则=，由于
，
∴
，所以当
时，
为一次函数，故选
二.填空题
1. 解：由已知，得
（其中
），函数为反比例函数，在
（）上为单调递减，所以当时，
又因为对于任意的，都有，所以
，因为有且只有一个常数
符合题意，所以
，解得
，所以的取值的集合为
。
2. 解：方程即
,利用绝对值的几何意义,得
，可得实数的取值范围为
3. 解：构造函数：
．由于当时，不等式恒成立，等价于在区间
上函数
的图象位于轴下方，由于函数的图象是开口向上的抛物线，故只需
即
，解得
．
．
三.解答题
解：（Ⅰ）解法一：由椭圆方程知 
所以 
，设
则
又
∴ 
，故当
，即点为椭圆短轴端点时，
有最小值
当
，即点为椭圆长轴端点时，有最大值
．
解法二：易知，所以，设
则
（以下同解法一）
（Ⅱ）显然当直线的斜率不存在即时，不满足题设条件
可设的方程为
，设
，
联立 
得 
即 
∴ 
，
由
即 
解得 
①
又
为锐角
∴ 
∴ 
∴ 
∴ 
②
综①、②可知
∴ 的取值范围是
．