2009年广州市高三年级调研测试
数 学（文 科）
2009.1
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：如果事件
互斥，那么
．
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知i为虚数单位，则（
i）（
i）=
A．0
B．
2．在等比数列｛an｝中，已知
，则
A．16
B．16或－
3．已知向量a =（x，1），b =（3，6），a
b ，则实数
的值为
A．
B．
C．
D．
4．经过圆
的圆心且斜率为1的直线方程为
A．
B．
C. 
D．
5．已知函数
是定义在R上的奇函数，当
时，
，则
A．
B．
C．
D．
6. 图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，
则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是
A．62 B．63
C．64 D．65
7. 已知
，则
A． B．
C． 
D．
8. 命题“
”的否命题是
A.
B.若
，则
C.
D.
9．图2为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视
图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为
A．6
B． 24
C．12
D．32
10. 已知抛物线
的方程为
，过点
和点
的直
线与抛物线没有公共点,则实数
的取值范围是
A. 
B.
C. 
D. 
（一）必做题（11～13题）
二、填空题: 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
11. 函数
的定义域为
.
12．如图3所示的算法流程图中，输出S的值为 . 图3
13．已知实数
满足
则
的最大值为_______．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14.(坐标系与参数方程选讲选做题)在直角坐标系中圆的参数方程为
（
为参数），以原点
为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆的圆心极坐标为_________．
15．（几何证明选讲选做题）如图4，
是圆外一点，过引圆的两条割线
、
，
，
，则
____________．
证明过程或演算步骤.
三、解答题: 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，
16．(本小题满分12分)
已知
R
.
（1）求函数的最小正周期;
（2）求函数的最大值，并指出此时的值．
17. (本小题满分12分)
某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后, 随机地
在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学
生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人.
抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形
图如图5所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)
的频率为0.05,此分数段的人数为5人. 0
(1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人?
(2) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率. 图5
18．(本小题满分14分)
如图6，已知四棱锥
中，
⊥平面
，
是直角梯形，
，
90º，
．
（1）求证：
⊥
；
（2）在线段
上是否存在一点
，使
//平面，
若存在，指出点的位置并加以证明；若不存在，请说明理由.
19. (本小题满分14分)
设椭圆
的离心率为
=
,点是椭圆上的一点,且点到椭圆两
焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆的方程；
（2）椭圆上一动点
关于直线
的对称点为
,求
的取值范围.
20．（本小题满分14分）
设数列
的前
项和为
，且 
.
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，数列
的前项和为
，求证：
.
21. （本题满分14分）
已知函数
(
R)．
(1) 当
时，求函数
的极值；
（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求a的取值范围．
2009年广州市高三年级调研测试
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
A
B
C
D
C
B
D
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．
11．
12．
13．
14．
15．2
说明：第14题答案可以有多种形式，如可答
或
Z）等, 均给满分.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．(本小题满分12分)
解：（1）∵
…… 2分
…… 4分
.
…… 6分
∴
.
…… 8分
(2) 当
时, 
取得最大值, 其值为2 .
……10分
此时
，即
Z
.
……12分
17. (本小题满分12分)
解:(1) 由频率分布条形图知,抽取的学生总数为
人. ……4分
∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为
,
由
=100,解得
.
∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人. ……8分
(2) 在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于90分的概率为0.35+0.25+0.1+0.05=0.75.
……12分
18．(本小题满分14分)
解：（1）∵ 
⊥平面
，
平面，
∴
⊥. …… 2分
∵
⊥
，
，
∴
⊥平面
，
…… 4分
∵
平面，
∴
⊥.
…… 6分
（2）法1: 取线段
的中点
，
的中点
，连结
,
则
是△
中位线.
∴∥
，
，
……8分
∵
，
，
∴
.
∴
四边形
是平行四边形，
……10分
∴ 
.
∵ 
平面
，
平面，
∴ ∥平面.
……12分
∴
线段的中点是符合题意要求的点．
……14分
法2: 取线段的中点，的中点，连结
,
则是△的中位线.
∴∥，
，
∵
平面, 
平面,
∴
平面.
…… 8分
∵
，，
∴
.
∴
四边形
是平行四边形，
∴ 
.
∵ 
平面，
平面，
∴ ∥平面
.
……10分
∵
,
∴平面
平面.
∵
平面
,
∴∥平面.
……12分
∴
线段的中点是符合题意要求的点．
……14分
19. (本小题满分14分)
解:(1)依题意知,
…… 2分
∵
,
∴
.
…… 4分
∴所求椭圆
的方程为
.
…… 6分
（2）∵ 点
关于直线
的对称点为
，
∴ 
…… 8分
解得：
，
.
…… 10分
∴
.
…… 12分
∵
点在椭圆:上,
∴
, 则
.
∴
的取值范围为
.
……14分
20. (本小题满分14分)
(1) 解：当
时，
.
……1分
当
时，
.
……3分
∵
不适合上式,
∴
……4分
（2）证明: ∵
.
当
时，
……6分
当时，
,
①
. ②
①－②得:
得
，
……8分
此式当时也适合.
∴
N
.
∵
，
∴
.
……10分
当时，
，
∴
.
……12分
∵
，
∴
.
故
，即
.
综上，
．
……14分
21. (本小题满分14分)
解：（1）当
时，
，
∴
.
令=0, 得 
. …… 2分
当
时,
, 则
在
上单调递增;
当
时,
, 则在
上单调递减;
当
时,, 在
上单调递增.
…… 4分
∴ 当
时, 取得极大值为
;
当
时, 取得极小值为
. …… 6分
（2） ∵ = 
，
∴△= 
= 
.
① 若a≥1，则△≤0， …… 7分
∴≥0在R上恒成立，
∴ f（x）在R上单调递增 .
∵f（0）
，
,
∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点． …… 9分
② 若a＜1，则△＞0，
∴= 0有两个不相等的实数根，不妨设为x1，x2，（x1<x2）．
∴x1+x2 = 2，x1x2 = a．
当
变化时，
的取值情况如下表：
x
x1
（x1，x2）
x2
+
0
－
0
+
f（x）
ㄊ
极大值
ㄋ
极小值
ㄊ
…… 11分
∵
,
∴
.
∴
.
同理
.
∴
.
令f（x1）?f（x2）＞0, 解得a＞
．
而当
时,
,
故当时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点. …… 13分
综上所述，a的取值范围是
．
…… 14分