2008学年度第一学期上海市普陀区高三年级质量调研数学试卷（理科）2008.12
说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据。
一、填空题（本大题满分55分）本大题共有11小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分.
1. 已知集合
，集合
,则
.
2. 抛物线
的焦点坐标为
.
3. 已知函数
，则
.
4. 设定义在
上的函数
满足
，若
，则
.
5. 已知两直线方程分别为
、
，若
，则直线
的一个法向量为
.
6. 已知
，且
为钝角，则
.
7. 在
的二面角内放一个半径为
的球，使球与两个半平面各只有一个公共点（其过球心且垂直于二面角的棱的直截面如图所示），则这两个公共点AB之间的球面距离为
.
8. 设等差数列
的前n项和为
. 若
，且
，则正整数
.
9. 一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高.现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为
cm. （精确到
10. 已知函数
，若
，则实数
的取值范围是 ．
11. 下列有关平面向量分解定理的四个命题中，所有正确命题的序号是 . （填写命题所对应的序号即可）
① 一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；
② 一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；
③ 平面向量的基向量可能互相垂直；
④ 一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合.
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.
12. 对任意的实数、
，下列等式恒成立的是
（ ）
A． 
；
B． 
；
C． 
；
D． 
.
13. 若平面向量
和
互相平行，其中
.则
（ ）
A. 
或0； B. 
；
C. 2或； D. 
或
.
14. 设
、
为两条直线，、为两个平面. 下列四个命题中，正确的命题是
（ ）
A. 若、与所成的角相等，则
； B. 若
；
C. 若
，则
； D. 若
，，则.
15. 若不等式
成立的一个充分非必要条件是
，则
实数的取值范围是
( )
A. 
； B. 
； C. 
； D. 以上结论都不对.
三、解答题（本大题满分79分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.
16. （本题满分12分）设点
在椭圆
的长轴上，点
是椭圆上任意一点. 当
的模最小时，点
恰好落在椭圆的右顶点，求实数的取值范围．
17. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知关于
的不等式
，其中
.
（1）
当
变化时，试求不等式的解集
；
（2）
对于不等式的解集，若满足
（其中
为整数集）. 试探究集合
能否为有限集？若能，求出使得集合中元素个数最少的的所有取值，并用列举法表示集合；若不能，请说明理由.
18. （本题满分15分，第1小题7分，第2小题8分）
如图，在直三棱柱
中，
，
，是
的中点，
是
的中点.
（1）求异面直线
与
所成角的大小；
（2）若直三棱柱的体积为
，求四棱锥
的体积.
19. （本题满分16分，第1小题10分，第2小题6分）
在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化. 现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数
可近似地用函数
来刻画. 其中：正整数
表示月份且
，例如
时表示1月份；和是正整数；
.
统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
① 各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；
② 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；
③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.
（1） 试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式；
（2） 一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”. 那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.
20. （本题满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）
定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列.
已知无穷等比数列的首项、公比均为.
（1）试求无穷等比子数列
（
）各项的和；
（2）是否存在数列的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为
？若存在，求出所有满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3）试设计一个数学问题，研究：是否存在数列的两个（或两个以上）无穷等比子数列，使得其各项和之间满足某种关系.请写出你的问题以及问题的研究过程和研究结论.
【第3小题说明：本小题将根据你所设计的问题的质量分层评分；问题的表达形式可以参考第2小题的表述方法.】
一、填空题：（
题号
1
2
3
4
5
6
答案
0
2
题号
7
8
9
10
11
答案
4
8.3
②、③
二、选择题：（
题号
12
13
14
15
答案
A
C
B
B
三、解答题：（
16.（理）解：设
为椭圆上的动点，由于椭圆方程为
，故
．
因为
，所以
推出
．
依题意可知，当
时，取得最小值．而
，
故有
，解得
．
又点
在椭圆的长轴上，即
. 故实数
的取值范围是
．
…2
…6
…8
…10
…12
16.（文）解：由条件，可得
，故左焦点
的坐标为
.
设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故．
因为
，所以
,
由二次函数性质可知，当
时，
取得最小值4．
所以，
的模的最小值为2，此时点
坐标为
.
…2
…6
…8
…10
…12
17. 解：（1）当
时，
；
当
且
时，
；
当
时，
；（不单独分析时的情况不扣分）
当
时，
.
（2） 由（1）知：当
时，集合
中的元素的个数无限；
当时，集合中的元素的个数有限，此时集合为有限集.
因为
，当且仅当
时取等号，
所以当时，集合的元素个数最少.
此时
，故集合
.
…2
…4
…6
…8
…12
…14
18.(理) （本题满分15分，第1小题7分，第2小题8分）
解：（1）如图，建立空间直角坐标系.不妨设
.
依题意，可得点的坐标
，
，
.
于是，
，
.
由
，则异面直线
与
所成角的大小为
.
（2）解：连结
. 由
，
是
的中点，得
;
由
面
，
面，得
.
又
，因此
面
由直三棱柱
的体积为
.可得
.
所以，四棱锥
的体积为
.
…3
…7
…9
…11
…13
…15
18. （文）（本题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）
解：
（2）解：如图所示. 由
，
，则
面
.所以，四棱锥
的体积为
.
…3
…6
…10
…15
19．解：（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12.
由此可得，
；
由规律②可知，
，
；
又当
时，
，
所以，
，由条件
是正整数，故取
.
综上可得，
符合条件.
（2） 解法一：由条件，
，可得
，
，
，.
因为
，
，所以当
时，
，
故
，即一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”.
解法二：列表，用计算器可算得
月份
…
6
7
8
9
10
11
…
人数
…
383
463
499
482
416
319
…
故一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”.
…3
…6
…9
…10
…12
…14
…16
…15
…16
20.解：（1）依条件得：
则无穷等比数列
各项的和为：
；
（2）解法一：设此子数列的首项为
，公比为
，由条件得：
，
则
，即 
而 
则 
.
所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为
，
其通项公式为
，.
解法二：由条件，可设此子数列的首项为，公比为
.
由
………… ①
又若
，则对每一都有
………… ②
从①、②得
；
则
；
因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项、公比均为无穷等比子数列，通项公式为，.
…4
…7
…9
…10
…7
…9
…10
（3）以下给出若干解答供参考，评分方法参考本小题阅卷说明：
问题一：是否存在数列
的两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和互为倒数？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由.
解：假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和之积为1。设这两个子数列的首项、公比分别为
和
，其中
且
或
，则
，
因为等式左边或为偶数，或为一个分数，而等式右边为两个奇数的乘积，还是一个奇数。故等式不可能成立。所以这样的两个子数列不存在。
【以上解答属于层级3，可得设计分4分，解答分6分】
问题二：是否存在数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和相等？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由.
解：假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和相等。设这两个子数列的首项、公比分别为和，其中
且或，则
………… ①
若
且，则①
，矛盾；若且，则①
，矛盾；故必有且，不妨设
，则
①
………… ②
1
当
时，②
，等式左边是偶数，右边是奇数，矛盾；
2当
时，②
或
，
两个等式的左、右端的奇偶性均矛盾；
综合可得，不存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们的各项和相等。
【以上解答属于层级4，可得设计分5分，解答分7分】
问题三：是否存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的
倍？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由.
解：假设存在满足条件的原数列的两个不同的无穷等比子数列。设这两个子数列的首项、公比分别为和，其中且或，则
，
显然当
时，上述等式成立。例如取
，
，
得：
第一个子数列：
，各项和
；第二个子数列：
，
各项和
，有
，因而存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的倍。
【以上解答属层级3，可得设计分4分，解答分6分.若进一步分析完备性，可提高一个层级评分】
问题四：是否存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的
倍？并说明理由. 解（略）：存在。
问题五：是否存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的
倍？并说明理由. 解（略）：不存在.
【以上问题四、问题五等都属于层级4的问题设计，可得设计分5分。解答分最高7分】
2008学年度第一学期上海市普陀区高三年级质量调研数学试卷（文科）2008.12
说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据。
一、填空题（本大题满分55分）本大题共有11小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分.
1. 已知集合
，集合
,则
.
2. 抛物线
的焦点坐标为
.
3. 已知函数
，则
.
4. 设定义在
上的函数
满足
，若
，则