四川省金堂中学高2009级数学模拟试题（1）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知a＞b＞0，全集为R，集合
，
，
，则有（ ）
A．
（
） B．
（
）
C．
D．
2．已知实数a，b均不为零，
，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
的图像关于点（-1，0）对称，且当
（0，＋∞）时，
，则当（-∞，-2）时
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
是第三象限角，
，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5．(理) 已知
，用数学归纳法证明
时，
多的项数是
（ ）
A.
B. 
C. 
D.
（文）过抛物线
的焦点作直线交抛物线于
，
、
，
两点，若
，则
等于（ ）
A．4p B．5p C．6p D．8p
6．设a，b，c是空间三条直线，
，
是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ）
A．当c⊥时，若c⊥，则∥ B．当
时，若b⊥，则
C．当，且c是a在内的射影时，若b⊥c，则a⊥b
D．当，且
时，若c∥，则b∥c
7．两个非零向量a，b互相垂直，给出下列各式：
①a?b＝0；
②a＋b＝a-b； ③|a＋b|＝|a-b|；
④|a|
＋|b|＝
a＋b
； ⑤（a＋b）?（a-b）＝0．其中正确的式子有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．已知数列
为等差数列，现在
则
（ ）
A．90 B．100 C．180 D．200
9．在含有30个个体的总体中，抽取一个容量为5的样本，则个体a被抽到的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，则球的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（理）某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）
A．
种 B．
种 C．
种 D．
种
（文）某师范大学的2名男生和4名女生被分配到两所中学作实习教师，每所中学分配1名男生和2名女生，则不同的分配方法有（ ）
A．6种 B．8种 C．12种 D．16种
12．已知是定义在R上的偶函数，且对任意
，都有
，当[4，6]时，
，则函数在区间[-2，0]上的反函数
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上
13．（文）函数
在[0，3]上的最大值为________．
（理）从某社区150户高收入家庭，360户中等收入家庭，90户低收入家庭中，用分层抽样法选出100户调查社会购买力的某项指标，则三种家庭应分别抽取的户数依次为________．
14．若实数a，b均不为零，且
，则
展开式中的常数项等于________．
15．若数列，
是等差数列，则有数列
也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列
是等比数列，且
，则有
__________也是等比数列．．
16．（理）给出下列4个命题：
①函数
是奇函数的充要条件是m＝0：
②若函数
的定义域是
，则
；
③若
，则
（其中
）；
④圆：
上任意点M关于直线
的对称点，
也在该圆上．
填上所有正确命题的序号是________．
（文）关于
的函数
有以下命题：
（1）对任意的
，
都是非奇非偶函数；
（2）不存在，使既是奇函数，又是偶函数；
（3）存在，使是奇函数；
（4）对任意的，都不是偶函数
其中一个假命题的序号是_______因为当=_______时，该命题的结论不成立
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知函数
（1）求的最小正周期；（2）若
，求的最大以及最小值
18．（12分）已知二次函数对任意，都有
成立，设向量
（sinx，2），
（2sinx，
），
（cos2x，1），
（1，2），当[0，
]时，求不等式f（
）＞f（
）的解集．
19．（12分）（理）甲、乙队进行篮球总决赛，比赛规则为：七场四胜制，即甲或乙队，谁先累计获胜四场比赛时，该队就是总决赛的冠军，若在每场比赛中，甲队获胜的概率均为0.6，每场比赛必须分出胜负，且每场比赛的胜或负不影响下一场比赛的胜或负．
（1）求甲队在第五场比赛后获得冠军的概率；（2）求甲队获得冠军的概率；
（文）有甲、乙两只口袋，甲袋装有4个白球2个黑球，乙袋装有3个白球和4个黑球，若从甲、乙两袋中各任取出两球后并交换放入袋中．
（1）求甲袋内恰好有2个白球的概率；（2）求甲袋内恰好有4个白球的概率；
20．（12分）长方体
中，
，
，M是AD中点，N是
中点．
（1）求证 ：
；（2）求证：平面
⊥平面
；
（2）求
与平面所成的角．
21．（12分）已知椭圆方程为
，射线
（x≥0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）．
（1）求证直线AB的斜率为定值；
（2）求△
面积的最大值．
22．（14分）已知等差数列的首项为a，公差为b；等比数列
的首项为b，公比为a，其中a，
，且
．
（1）求a的值；（2）若对于任意，总存在
，使
，求b的值；
（3）在（2）问中，记
是所有中满足， 的项从小到大依次组成的数列，又记
为的前n项和，
的前n项和，求证：≥
．
（文科只做前两问）
一、选择
1．A 2．B 3．B 4．D 5．（理）C （文）A 6．B 7．A 8．B 9．A
10．B 11．（理）A （文）C 12．B
二、填空
13．（理）
（文）25，60，15 14．-672 15．2.5小时 16．（理）①，④（文）（1），
；（1），
；（4），
等
三、解答题
17．解析：设f（x）的二次项系数为m，其图象上两点为（1-x，
）、B（1＋x，
）因为
，
，所以
，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x＝1对称，若m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数，若m＜0，则x≥1时，f（x）是减函数．
∵ 
，
，
，
，
，
，
∴ 当
时，
，
．
∵ 
， ∴ 
．
当
时，同理可得
或
．
综上：
的解集是当时，为
；
当时，为
，或
．
18．解析：（理）（1）设甲队在第五场比赛后获得冠军为事件M，则第五场比赛甲队获胜，前四场比赛甲队获胜三场
依题意得
．
（2）设甲队获得冠军为事件E，则E包含第四、第五、第六、第七场获得冠军四种情况，且它们被彼此互斥．
∴ 
．
（文）①设甲袋中恰有两个白球为事件A
②设甲袋内恰好有4个白球为事件B，则B包含三种情况．
甲袋中取2个白球，且乙袋中取2个白球，②甲袋中取1个白球，1个黑球，且乙袋中取1个白球，1个黑球，③甲、乙两袋中各取2个黑球．
∴ 
．
19．解析：（1）取
中点E，连结ME、
，
∴ 
，MCEC． ∴ MC． ∴ 
，M，C，N四点共面．
（2）连结BD，则BD是
在平面ABCD内的射影．
∵ 
， ∴ Rt△CDM～Rt△BCD，∠DCM=∠CBD．
∴ ∠CBD+∠BCM=90°． ∴ MC⊥BD． ∴ 
．
（3）连结
，由
是正方形，知⊥．
∵ ⊥MC， ∴ ⊥平面
．
∴ 平面⊥平面
．
（4）∠
是与平面
所成的角且等于45°．
20．解析：（1）
．
∵ x≥1． ∴ 
，
当x≥1时，
是增函数，其最小值为
．
∴ a＜0（a＝0时也符合题意）． ∴ a≤0．
（2）
，即27-6a-3＝0， ∴ a＝4．
∴ 
有极大值点
，极小值点
．
此时f（x）在
，
上时减函数，在
，＋
上是增函数．
∴ f（x）在
，
上的最小值是
，最大值是
，（因
）．
21．解析：（1）∵ 斜率k存在，不妨设k＞0，求出M（
，2）．直线MA方程为
，直线MB方程为
．
分别与椭圆方程联立，可解出
，
．
∴ 
． ∴ 
（定值）．
（2）设直线AB方程为
，与
联立，消去y得
．
由D＞0得-4＜m＜4，且m≠0，点M到AB的距离为
．
设△AMB的面积为S． ∴ 
．
当
时，得
．
22．解析：（1）∵ 
，a，
，
∴ 
∴ 
∴ 
∴ 
．
∴ a＝2或a＝3（a＝3时不合题意，舍去）． ∴a＝2．
（2）
，
，由
可得
． ∴ 
．
∴ b＝5
（3）由（2）知
，
， ∴ 
．
∴ 
． ∴ 
，
．
∵ 
，
．
当n≥3时，
．
∴ 
． 综上得 
．