第四节直角三角形 [回顾与思考] 直角三角形 [例题经典] 直角三角形两锐角互余例1．如图.有两个长度相同的滑梯.左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等.则∠ABC+∠DFE= ——青夏教育精英家教网——

第四节直角三角形

【回顾与思考】

直角三角形

【例题经典】

直角三角形两锐角互余

例1．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=______．

【分析】∠ABC与∠DFE分布在两个直角三角形中，若说明这两个直角三角形全等则问题便会迎刃而解．

【解答】在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，

∴△ABC≌△DEF，∴∠ABC=∠DEF，

∴∠ABC+∠DFE=90°，因此填90°．

【点评】此例主要依据用所探索的直角三角形全等的条件来识别两个直角三角形全等，并运用与它相关的性质进行解题．

特殊直角三角形的性质、勾股定理的应用

例2．（2006年包头市）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”．一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1．5秒．

（1）试求该车从A点到B的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速．

【解析】（1）要求该车从A点到B点的速度．只需求出AB的距离，

在△OAC中，OC=25米．∵∠OAC=90°-60°=30°，∴OA=2CO=50米

由勾股定理得CA==25（米）

在△OBC中,∠BOC=30°

∴BC=OB.

∴（2BC）²=BC²+25²

∴BC=（米）

∴AB=AC-BC=25-=（米）

∴从A到B的速度为÷1.5=（米/秒）

（2）米/秒≈69.3千米/时

∵69.3千米/时<70千米/时

∴该车没有超过限速．

【点评】此题应用了直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半及勾股定理，也是几何与代数的综合应用．

勾股定理的逆定理的应用

例3．如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在下面的正方形网格中作出了Rt△ABC．请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等．

简析：此题的答案可以有很多种，关键是抓住有一直角这一特征，可以根据勾股定理的逆定理“有两边的平方和等于第三边的平方，则三角形为直角三角形”构造出直角三角形，答案如下图．

【考点精练】

一、基础训练

1．如图1，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB的长度为80米，那么点B离水平面的高度BC的长为________米．

（1）（2）（3）

2．如图2，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A处，则∠EAB=_________度．

3．如图3，矩形纸片ABCD，AB=2，∠ADB=30°，沿对角线BD折叠（使△ABD和△EBD落在同一平面内），则A、E两点间的距离为________．

4．如图4，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_______米．

（4）（5）（6）

5．（2006年盐城市）如图5，AB是⊙O的弦，圆心O到AB的距离OD=1，AB=4，则该圆的半径是________．

6．（2006年河南省）如图6，C、D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端的A和B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD=6km，则AB=_______km．

7．（2005年吉林省）如图7，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（）

A．10° B．20° C．30° D．40°

（7）（8）（9）

8．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图8所示的图形，已知∠CED=60°，则∠AED的大小是（）

A．60° B．50° C．75° D．55°

9．如图9，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为45°，若点D到电线杆底部点B的距离为a，则电线杆AB的长可表示为（）

A．a B．2a C．a D．a

10．（2006年烟台市）如图10，CD是Rt△ABC斜边上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）

A．25° B．30° C．45° D．60°

（10）（11）（12）

11．（2005年武汉市）如图11，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC约为（取1.732，结果保留3个有效数字）（）

A．5.00米 B．8.66米 C．17.3米 D．5.77米

12．（2006年包头市）如图12，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（）

A． B． C． D．3

二、能力提升

13．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为长边在△ABC外作矩形，使其每个矩形的宽为长的一半，S₁、S₂、S₃分别表示这三个长方形的面积，则S₁、S₂、S₃之间有什么关系？并证明你的结论．

14．已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别是AC、AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A．求证：四边形DECF是平行四边形．

15．（2006年日照市）如图，已知等腰Rt△AOB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连接AE、BF．

求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．

三、应用与探究

16．（2006年枣庄市）两个全等的含30°，60°角的三角板ADE与三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．

答案：

考点精练

1．40 2．60 3．2 4．20 5． 6．3

7．B 8．A 9．B 10．B 11．D 12．B

13．S₁+S₂=S₃．证略

14．证△DFC≌△AED．根据一组对边平行且相等证得四边形DECF是平行四边形

15．（1）证△AOE≌△BOF可得AE=BF

（2）∵OE⊥OF，BF⊥OF，

∴BF∥OE，AE⊥OE，∴AE⊥BF

16．连接AM，可证∠MDA=∠MAB=45°，∠MDE=∠MAC=105°，

∴△EDM≌△CAM．∴EM=MC．从而可证CM⊥EM，

∴△EMC是等腰直角三角形．