第七节  函数的综合应用

【回顾与思考】

    函数应用

【例题经典】

一次函数与反比例函数的综合应用

例1 （2006年南充市）已知点A（0，-6），B（-3，0），C（m，2）三点在同一直线上，试求出图象经过其中一点的反比例函数的解析式并画出其图象．（要求标出必要的点，可不写画法）．

    【点评】本题是一道一次函数和反比例函数图象和性质的小综合题，题目设计新颖、巧妙、难度不大，但能很好地考查学生的基本功．

一次函数与二次函数的综合应用

例2  （2005年海门市）某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中，纯净水的销售价（元/桶）与年购买总量y（桶）之间满足如图所示关系．

    （1）求y与x的函数关系式；

    （2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买材料，哪一种花钱更少？

（3）当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，你有何感想（不超过30字）？

    【点评】这是一道与学生生活实际紧密联系的试题，由图象可知，一次函数图象经过点（4，400）、（5，320）可确定y与x关系式，同时这也是一道确定最优方案题，可利用函数知识分别比较学生个人购买饮料与改饮桶装纯净水的费用，分析优劣．

二次函数与图象信息类有关的实际应用问题

例3  一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1日起的50天内，它的市场售价y₁与上市时间x的关系可用图（a）的一条线段表示；它的种植成本y₂与上市时间x的关系可用图（b）中的抛物线的一部分来表示．

    （1）求出图（a）中表示的市场售价y₁与上市时间x的函数关系式．

    （2）求出图（b）中表示的种植成本y₂与上市时间x的函数关系式．

    （3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？

（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天）

    【点评】本题是一道函数与图象信息有关的综合题．学生通过读题、读图．从题目已知和图象中获取有价值的信息，是问题求解的关键．

【考点精练】

基础训练

1．在函数y=，y=x+5，y=x²的图象中是中心对称图形，且对称中心是原点的有（  ）

    A．0个     B．1个     C．2个     D．3个

2．下列四个函数中，y随x的增大而减少的是（  ）

    A．y=2x     B．y=-2x+5    C．y=-     D．y=-x²-2x-1

3．函数y=ax²-a与y=（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（  ）

4．函数y=kx-2与y=（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（  ）

5．如图是二次函数y₁=ax²+bx+c和一次函数y₂=mx+n的图象，观察图象写出y₂≥y₁时，x的取值范围__________．

                   (第5题)                       (第6题)

6．（2006年旅顺口）如图是一次函数y₁=kx+b和反比例函数y₂=的图象，观察图象写出y₁>y₂时，x的取值范围是_________．

7．（2005年十堰市）在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+k，y=（k>0）的图像大致是（  ）

8．（2005年太原市）在反比例函数y=中，当x>0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=kx²+2kx的图像大致是（  ）

能力提升

9．如图，已知反比例函数y₁=（m≠0）的图象经过点A（-2，1），一次函数y₂=kx+b（k≠0）的图象经过点C（0，3）与点A，且与反比例函数的图象相交于另一点B．

    （1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；

（2）求点B的坐标．

10．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．已知OA=，tan∠AOC=，点B的坐标为（，-4）．

    （1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求△AOB的面积．

11．（2005年扬州市）近几年，扬州市先后获得“中国优秀旅游城市”和“全国生态建设示范城市”等十多个殊荣．到扬州观光旅游的客人越来越多，某景点每天都吸引大量游客前来观光．事实表明，如果游客过多，不利于保护珍贵文物，为了实施可持续发展，兼顾社会效益和经济效益，该景点拟采用浮动门票价格的方法来控制游览人数．已知每张门票原价40元，现设浮动票价为x元，且40≤x≤70，经市场调研发现一天游览人数y与票价x之间存在着如图所示的一次函数关系．

    （1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；

    （2）设该景点一天的门票收入为w元

       ①试用x的代数式表示w；

②试问：当票价定为多少时，该景点一天的门票收入最高？最高门票收入是多少？

12．（2006年荆门市）某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品．已知每件产品的进价为40元．经销过程中测出销售量y（万件）与销售单价x（元）存在如图所示的一次函数关系．每年销售该种产品的总开支z（万元）（不含进价）与年销售量y（万件）存在函数关系z=10y+42.5．

    （1）求y关于x的函数关系．

    （2）试写出该公司销售该种产品年获利w（万元）关于销售单价z（元）的函数关系式（年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额）当销售单价为x为何值，年获利最大？最大值是多少？

（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于57.5万元，请你利用（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围．在此条件下使产品的销售量最大，你认为销售单价应为多少元？

应用与探究

13．（2006年潍坊市）为保证交通完全，汽车驾驶员必须知道汽车刹车后的停止距离（开始刹车到车辆停止车辆行驶的距离）与汽车行驶速度（开始刹车时的速度）的关系，以便及时刹车．下表是某款车在平坦道路上路况良好刹车后的停止距离与汽车行驶速度的对应值表：

行驶速度（千米/时）

40

60

80

…

   停止距离（米）

16

30

48

…

    （1）设汽车刹车后的停止距离y（米）是关于汽车行驶速度x（千米/时）的函数．给出以下三个函数①y=ax+b；②y=（k≠0）；③y=ax²+bx，请选择恰当的函数来描述停止距离y（米）与汽车行驶速度x（千米/时）的关系，说明选择理由,并求出符合要求的函数的解析式；

    （2）根据你所选择的函数解析式，若汽车刹车后的停止距离为70米，求汽车行驶速度．

答案:

例题经典 

例1：解：设直线AB的解析式为y=k₁x+b，则 解得k₁=-2，b=-6．

所以直线AB的解析式为y=-2x-6．

∵点C（m，2）在直线y=-2x-6上，∴-2m-6=2，

∴m=-4，即点C的坐标为C（-4，2），

由于A（0，6），B（-3，0）都在坐标轴上，反比例函数的图象只能经过点C（-4，2），设经过点C的反比例函数的解析式为y=．则2=，

∴k₂=-8．即经过点C的反比例函数的解析式为y=-．

例2：（1）设y=kx+b，∵x=4时，y=400；x=5时，y=320，

∴ 

∴y与x的函数关系式为y=-80x+720．

（2）该班学生买饮料每年总费用为50×120=6000（元），

当y=380时，380=-80x+720，得x=4.25．

该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25+780=2395（元），

显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少．

（3）设该班每年购买纯净水的费用为W元，

则W=xy=x（-80x+720）=-80（x-）²+1620．

∴当x=时，W_最大值=1620．要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，

则50a≥W_最大值+780，即50a≥1620+780．解之得，a≥48．

所以a至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算，

由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯．

例3：（1）设y₁=mx+n，因为函数图象过点（0，5.1），（50，2.1），

∴  解得：m=-，n=5.1，

∴y₁=-x+5.1（0≤x≤50）．

（2）又由题目已知条件可设y₂=a（x-25）²+2．因其图象过点（15，3），

∴3=a（15-25）²+2，∴a=，

∴y₂=x²-x+（或y=（x-25）²+2）（0≤x≤50）

（3）第x天上市的这种绿色蔬菜的纯利润为：y₁-y₂=（x²-44x+315（0≤x≤55）．

依题意：y₁-y₂=0，即x²-44x+315=0，∴（x-9）（x-35）=0，解得：x₁=9，x₂=25．

所以从5月1日起的第9天或第35天出售的这种绿色蔬菜，既不赔本也不赚钱．

考点精练

1．B  2．B  3．A  4．B  5．-2≤x≤1  6．x>3或-2<x<0  7．D  8．D

9．（1）反比例函数解析式为y=，一次函数的解析式为y=x+3．

（2）点B的坐标为B（-1，2）

10．（1）反比例函数解析式为y=-，一次函数为y=-2x-3．

（2）S_△AOB=个平方单位．

11．（1）设函数解析式为y=kx+b，由图象知：直线经过（50，3500），（60，3000）两点．

则，

∴函数解析式为y=6000-50x．

（2）①w=xy=x（6000-50x），即w=-50x²+6000x．

②w=-50x²+6000x=-50（x²-120x）=-50（x-60）²+180000，

∴当票价定为60元时，该景点门票收入最高，此时门票收入为180000元．

12．（1）由题意，设y=kx+b，图象过点（70，5），（90，3），

∴ ∴y=-x+12．

（2）由题意，得w=y（x-40）-z=y（x-40）-（10y+42.5）

=（-+12）（x-40）-10×（-x+12）-42.5

=-0.1x²+17x-642.5=-（x-85）²+80．

当x=85时，年获利的最大值为80万元．

（3）令w=57.5，得-0.1x²+17x-642.5=57.5，

整理，得x²-170x+7000=0．解得x₁=70，x₂=100．

由图象可知，要使年获利不低于57.5万元，销售单价为70元到100元之间．

又因为销售单位越低，销售量越大，

所以要使销售量最大，又使年获利不低于57.5万元，销售单价应定为70元．

13．解：（1）若选择y=ax+b，

把x=40，y=16与x=60，y=30分别代入得，

而把x=80代入y=0.7x-12得y=44<48，所以选择y=ax+b不恰当；

若选择y=（k≠0），由x，y对应值表看出y随x的增大而增大．

而y=（k≠0）在第一象限y随x的增大而减小，

所以不恰当；若选择y=ax²+bx，

把x=40，y=16与x=60，y=30分别代入得 ，而把x=80代入y=0.005x²+0.2x得y=48成立．

所以选择y=ax²+bx恰当，解析式为y=0.005x²+0.2．

（2）把y=70代入y=0.005x²+0.2x得70=0.005x²+0.2x，

即x²+40x-14000=0，解得x=100或x=-140（舍去），

所以，当停止距离为70米，汽车行驶速度为100千米/时．