2009年三明市普通高中毕业班质量检查
文科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）， 本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签）笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清楚。
4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
样本数据
，的标准差
锥体体积公式
其中
为底面面积，
为高
其中
为样本平均数
球的表面积、体积公式
柱体体积公式
其中为底面面积，为高
其中
为球的半径
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡上。
1．已知复数
，那么
的值是
A．
B．
C．
D．
2．
设全集
，集合
，则
等于
A．
B．
C．
D．
3．已知直线
与圆
，则圆心C到直线
的距离是
A．
B．
D．
4．已知向量
，若
与
平行，则实数
等于
A．-2 B．
D．
5．设命题
；命题
；则
是
的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在正方体
中，异面直线
与
所成角的大小为
A．30° B．45° C．60° D．90°
７．已知函数
的图象，（部分）如图所示，则
的解析式是
A．
B．
C．
D．
（第７题图）
8．设
是互不重合的直线，
是不重合的平面，则下列命题为真命题的是
A．
B．
C．
D．
9．已知抛物线
，以（1，1）为中点作抛物线的弦，则这条弦所在的直线的方程为
A．
B．
C．
D．
10．已知定义域为R的函数
，它的图像关于直线
成轴对称，又关于点
（3，0）成中心对称，且
，则
的值等于
A．0 B．
11．已知
，设事件A为“关于
的方程
有实根”，则事件A发生的概率为
A．
B． C．
D．
12．若函数
和
只有定义域不同，而对应法则和值域都相同，则称和为“同族函数”。设
其中
为非空集合，且的定义域为
，值域为
，则与为“同族函数”的共有
A． 6 个 B．7个 C．8个 D．9个
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应的位置。
13．函数
的最小值是
14． 执行右边的程序框图，若
，则输出的
15．在亚丁湾某海域有一执行任务的甲军舰获悉，其正东方向距离20海里处，有一艘货轮遇海盗袭击等待营救，甲舰南偏西30°距离10海里处有一艘乙舰，甲、乙两舰共同实施救援行动，此时乙舰与货轮的距离是___________海里。
16．某校科技创新活动小组共有32名成员，要从中选出一名成员担任活动小组的组长，现按以下方法进行：将32名成员进行编号。号码分别为1，2，3，…，32．并将1，2，3，4，…，32号成员按逆时针方向且面向圆心依此排在一个圆周上，然后按逆时针方向隔一个抽掉一个成员，被抽掉的成员向圆内走一步，如此循环操作直至圆上只留下一个成员而终止，则最后留在圆上的这个成员就是活动小组的组长。若1开始第一个被抽掉，那么用这种方法选出的活动小组组长的号码是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答。
17．（本小题满分12分）
如图，过原点且倾斜角为
的直线交单位圆于点
，C是单位圆与轴正半轴的交点，B是单位圆上第二象限的点，且
为正三角形。
（Ｉ）求
的值；
（II）求
的面积。
18．（本小题满分12分）
“五?一”放假期间，某旅行社共组织1000名游客，分三批到北京、香港两地旅游，为了做好游客的行程安排，旅行社对参加两地旅游的游客人数进行了统计，列表如下：
第一批
第二批
第三批
北京
200
香港
150
160
已知在参加北京、香港两地旅游的1000名游客中，第二批参加北京游的频率是0．21．
（I）现用分层抽样的方法在所有游客中抽取50名游客，协助旅途后勤工作，问应在第三批参加旅游的游客中抽取多少名游客？
（II）已知
，求第三批参加旅游的游客中到北京旅游人数比到香港旅游人数多的概率。
19．（本小题满分12分）
下列三个图分别是四棱锥
的直观图、侧视图和俯视图。直观图中，侧面
底面
，M为AC的中点，侧视图是等边三角形，俯视图是直角梯形，尺寸如图所示。
（I）求证：
（II）求证；
（III）求该四棱锥的体积。
20．(本小题满分12分)
已知函数
，数列
满足
（I）求证：数列
是等差数列；
（II）记
，试比较
与1的大小。
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，点
，点
是平面上动点，且
成等差数列。
（I）求动点满足的曲线
方程；
（II）设直线
与曲线交于两点，试问：当
变化时，是否存在直线，使
的面积为
？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。
22．(本小题满分14分)
已知函数
（其中
是自然对数的底数，
为正数）
（I）若在
处取得极值，且是的一个零点，求的值；
（II）若
，求在区间
上的最大值；
（III）设函数
在区间
上是减函数，求的取值范围。
2009年三明市普通高中毕业班质量检查
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分
1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C
7．A 8．D 9．B 10．B 11．C 12．A
二、填空题：本大题共6小题，共74分
13．5
14．3
15．
16．32
三、解答题：本大题共6小题，共74分
17．解：（I）由三角函数的定义可知
（II）又
为正三角形，
18．解：（I）
第三批旅游人数为
现用分层抽样的方法在所有游客中抽取50名游客，应在第三批参加旅游的游客中抽取的人数为
（人）
（II）设“第三批参加旅游的游客中到北京游的人数比到香港游的人数多”为事件A，第三批参加旅游的游客中到北京游的人数、到香港游的人数记为
由（I）知
，且
则基本事件空间包含的基本事件有
（136，144）（137，143）（138，142）（139，141）（140，140）（141，139）（142，138）
（143，137）（144，136）（145，135）（146，134）（147，133） 共12个。
事件A包含的基本事件有
（141，139）（142，138）（143，137）（144，136）（145，135）（146，134）（147，133）共7个
答：第三批参加旅游的游客中到北京游的人数比到香港游的人数多的概率为
19．解：（I）取
的中点
，连结
在
中，
为
的中点
四边形
为平行四边形
（II）
侧面
底面
，
平面
,
又
是正三角形，
为的中点，
（III）取
的中点
，连结
,
是边长为2的正三角形，
又侧面
底面
20．解（I）由已知得，
数列
是首项
，公差
的等差数列
（II）由（I）知
21．解:(I)由题意知，
由椭圆定义知，动点
满足的曲线
方程是:
（II）由方程组
的面积
不存在直线
满足题意
22．解法一：
（I）由已知
（II）
由此得
时，
单调递减；
时，单调递增
当
，即
时，
当
，即
时，
（III）
在
在是减函数，
在
上恒成立
即
在上恒成立
在上恒成立
又
当且仅当
时等号成立。
解法二；（I）,(II)同解法一
（III）
在是减函数，
在上恒成立
即在上恒成立
不妨设
由于
无解。
综上所述，得出
，即
的取值范围是