1. 在坐标平面上，具有整数坐标的点构成单位边长的正方格的顶点。这些正方格被涂上黑白相间的两种颜色（像棋盘一样）。对于任意一对正整数m和n，考虑一个直角三角形其顶点具有整数坐标，两腰长分别为m和n，且其两腰都在这些正方格的边上。 设S₁为这个三角形区域中所有黑色部分的总面积，S₂则为所有白色部分的总面积。 令f(m,n)=|S₁-S₂|，

2. 设∠A是△ABC中最小的?角。B和C将此三角形的外接圆分成两个弧。U为落在不含A点的弧上且异于B,C的一点。线段AB,AC的垂直平分线分别交AU于V,W。
直线BV, CW相交于T，

求证：AU＝TB＋TC。

3. x₁,x₂,...,x_n是正实数满足|x₁+x₂+...x_n|=1 且对所有i有|x_i|≤(n+1)/2。

试证明存在x₁,x₂,...,x_n的一个 排列y₁,y₂,...,y_n满足

|y₁+2y₂+...+ny_n|≤(n+1)/2。 

4. 一个n×n的矩阵称为一个n阶“银矩阵”，如果它的元素取自集合S={1,2,...,2n-1}且对于每一个i=1,2，...,n，它的第i列与第i行中的所有元素合起来恰好是S中的所有元素。求证：

5. 试找出所有的正整数对(a,b)满足

a

b²

=

b

a

6. 对每个正整数n，将n表示成2的非负整数次方之和，令f(n)为正整数n的上述不同表示法的个数。如果俩个表示法的差别仅在于他们中各个数相加的次序不同，这两个表示法就被视为是相同的。例如，f(4)=4，因为4恰有下列四种不同的表示法：4; 2+2; 2+1+1;1+1+1+1。

求证：对于任意整数n≥3，  

2

n²/4

< f(2ⁿ)<

2

n²/2