1.  对任意正整数 n，求证有无穷多个正整数 m 使得 n⁴ + m 不是质数。

2.  令 f(x) = cos(a₁ + x) + 1/2 cos(a₂ + x) + 1/4 cos(a₃ + x) + ... + 1/2^n-1 cos(a_n + x), 其中 a_i 是实数常量，x是实数变量。现已知 f(x₁) = f(x₂) = 0，求证 x₁ - x₂ 是 π 的整数倍。

3.  对每一个k = 1, 2, 3, 4, 5，试找出 a>0 应满足的充要条件使得存在一个四面体，其中 k个边长均为 a，其余 6-k个边的长度均为 1。

4. 以AB为直径的半圆弧，C是其上不同于A、B的一点，D是C向AB作垂线的垂足。K₁ 是三角形ABC的内切圆， 圆K₂ 与CD、DA以及半圆都相切，圆K₃ 与CD、DB及半圆相切。求证：圆K₁、 K₂ 、 K₃ 除AB外还有一条公切线。

5. 平面上已给定了 n>4个点，无三点共线。求证至少有 (n-3)(n-4)/2 个凸四边形，其顶点都是已给点集中的点。

6.  给定实数x₁, x₂, y₁, y₂, z₁, z₂, 满足 x₁ > 0, x₂ > 0, x₁y₁ > z₁², x₂y₂ > z₂²，求证：

8

≤

1

+

1

(x₁ + x₂)(y₁ + y₂) - (z₁ + z₂)²

x₁y₁ - z₁²

x₂y₂ - z₂²

并给出等号成立的充分必要条件。