河北省邯郸市2009届高三第二次模拟考试
数学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷1至2页 第Ⅱ卷3至4页 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第Ⅰ卷（选择题60分）
注意事项：
1 答题前，考生在答题卡上务必用直径0 5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目
2 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效
3 本卷共12小题，每小题5分，共60分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
参考公式：www.ks5u.com
如果事件
互斥，那么
球的表面积公式
如果事件相互独立，那么
其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么
次独立重复试验中事件恰好发生
次的概率
其中表示球的半径
一、 选择题（本大题共12个小题．每小题5分；共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.集合
，
则
是
A．
B． 
C．
D． 
2.与
的值最接近的是
A．
B．
C．－
D．－
3. 
为虚数单位，且
，则
的值为
A．4
B．
C．
D．
4．下列函数中，以
为周期的奇函数是
A．
B．
C．
D．
5．已知公差不为
的正项等差数列
中，
为其前
项和，若
，
，
也成等差数列，
，则
等于
A．
B．
C．
D．
6．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A，B，O，AB型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女的血型一定不是O型，若某人的血型是O型，则其父母血型的所有可能情况有
A．12种 B．10种 C．9种 D．6种
7 . 把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为
A． 30° B． 45° C．60° D．90°
8. 随机变量
服从正态分布N(0,1),记
.给出下列结论：①
; ②
;③
;④
.其中正确命题的个数为
A.1
B
9.点P为△ABC的外心，且
等于
A．6 B．
10 若直线
和圆
没有交点，则过点
的直线与椭圆
的交点个数为
Ａ．至多一个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．０个
11. (
+1)4(x－1)5展开式中x4的系数为
A．55
B．
12.从双曲线
的左焦点F引圆
的切线，切点为
，延长
交双曲线右支于
点，若
为线段
的中点，
为坐标原点，则
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 与直线
平行且与抛物线
相切的直线方程是 ;
14. 田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A1、A2、A3；田忌的三匹马分别为B1、B2、B3；每场比赛双方各派一匹马上场，每匹马只出场一次，共赛三场，赢两场者获胜，双方均不知对方的马出场顺序．若这六匹马的优、劣程度可以用不等式A1>B1>A2>B2>A3>B3表示,则田忌获胜的概率是 ;
15.已知
，则
;
16. 如图，
是函数
图象上任意两点，设点C分
的比为
，
则由图中点C在点C′上方，可得不等式
请分析上述过程，结合函数
的图象，可得一个类似
不等式为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分10分）
在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若
，
，求
的值．
18、（本小题满分12分）
甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得分（没有和棋），比赛进行到有一人比对方多
分或打满
局时，比赛结束．设甲在每局中获胜的概率为
，且各局胜负相互独立．已知第二局打完时比赛结束的概率为
．
（Ⅰ）
求的值；
（Ⅱ） 设表示比赛结束时已比赛的局数，求随机变量
的分布列和数学期望
．
19. （本小题满分12分）
如图，已知斜三棱柱
的底面是直角三角形，
，侧棱与底面所成的角为
，点
在底面上的射影
落在
上．
（Ⅰ）求证：
面
；
（Ⅱ）若
，且当
时，
求二面角
的大小；
（Ⅲ）当
为何值时，
,且使点恰为中点．
20．（本小题满分12分）
已知函数
，设
．
（Ⅰ）求F（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数
，使得函数
的图像与
的图像恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．
21、（本小题满分12分）
已知定点A（－2，0），动点B是圆
（F为圆心）上一点，动点P满足
，
.
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（0，－4）的直线l交P点的轨迹于点R，T，且满足
（O为原点），若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知数列
满足
，
，若数列
满足
，
（Ⅰ）求数列通项公式； （Ⅱ）证明：
；
（Ⅲ）求证：
.
一、选择题 D C C C A C B CAB D B
二、填空题 13. 
14. 
15. -8
16.
三、解答题
17.(10分) 解：（Ⅰ）由已知得
由余弦定理得
，即
…………………………3分
因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝p，，所以
，则
………………………6分
（Ⅱ）
，则
．将
，
代入余弦定理：
得
解得
．…10分
18.（12分） 解：（Ⅰ）依题意，当甲连胜
局或乙连胜局时，第二局赛完时比赛结束．
有
． 解得
或
． 
，
．…5分
（Ⅱ）依题意知，
的所有可能值为2，4，6．
设每两局比赛为一轮，则该轮赛完时比赛结束的概率为
．
若该轮赛完时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有
， 
， 
．
随机变量的分布列为：
2
4
6
…………………………………………………………………………………………10分
………………………………………………12分
19.（12分）解：（Ⅰ）
,
面
,
,又
,
面
. …………………………………………………………4分
（Ⅱ）过
作
垂足为
，则
．
过作
，垂足为
，由三垂线定理得
;
是所求二面角
的平面角.……………………6分
设，
，
在
中，由
，
得
，所以
．
在
中,
,
，
故所求二面角的度数为
．…………………………………………8分
（Ⅲ）
面,要使
,由三垂线定理可知，只需
,
为菱形，此时
又
,要使
为
中点，只需
,
即
为正三角形，
．
,且点D落在BC上，
即为侧棱与底面所成的角．
故当
时， 
且使点D为BC的中点．………………12分
20.（12分）
解：(Ⅰ) 
…………………………………………………………………………………………2分
由
．
……5分
（Ⅱ）若
的图像与
的图像恰有四个不同交点，
即
有四个不同的根，亦即方程
有四个不同的根．…………………7分
令
，
则
．…………………8分
当
变化时
的变化情况如下表：
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
(1,
)
的符号
+
0
-
0
+
0
-
的单调性
ㄊ
极大值
ㄋ
极小值
ㄊ
极大值
ㄋ
由表格知：
．……10分
可知，当
时，
…………………12分
21.（12分）解：(Ⅰ)由题意：点P是AB的垂直平分线与BF的交点，
且
∴P点轨迹为以A、F为焦点的椭圆.………………………………3分
设方程为
……………………………………………6分
（Ⅱ）假设存在满足题意的直线l，若l斜率不存在，易知
不符合题意，故其斜率存在，设为k，设
……………8分
解得
代入验证
成立
…………………………………………12分
22. 解：（Ⅰ） 由
∴
……………………………………………………3分
（Ⅱ）∵
∴
，
∴
…………7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
而
当
时，
法1：∴
∴
…………………………12分
法2：原不等式只需证： 
∵
时，
∴
∴