惠州市第一中学高三年级数学试卷 （2006 8）

考生须知:

1. 本卷满分150分, 考试时间120分钟.

2. 答题前, 在答题卷密封区内填写班级，姓名和学号.

3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.

4. 考试结束, 只需上交答题卷.

一：选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．函数的反函数是(    )

     A        B             C        D

2 若 f′(x₀)=2,   则=(    )

      A.  －2         B.  2                C.  －1           D.  1

3．如图所示是二次函数的图像，则等于(  )    

       A．                B．

      C．               D．无法确定

4．函数y=1+a^x(0<a<1)的反函数的图象大致是 (   )

   （A）            （B）           （C）               （D）

     A                   B                C                   D

5．函数f(x)=cosx?sinx的图象相邻的两条对称轴之间的距离是（   ）

      A．       B．2             C.           D．

6．函数的定义域为开区间，导函          数在内的图象如图所示，则函数  在开区间内有极小值点（　）

A．1个       

B．2个

C．3个

D．4个

7．如果二次函数y=-2x²+(a-1)x-3,在区间(-∞,上是增函数，则（　）

A. a=5　        B .a=3             C. a≥5　　          D. a≤-3

8．在等差数列中，已知则等于  （  ）

    A. 40　　　  　B. 42　　           C. 43　　　        D. 45

9．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（   ）

A．   B．  C．   D．

10．定义集合运算：A⊙B=｛z?z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为 （  ）

A. 0            B. 6                  C.12              D.18

二：填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。）

11．函数的定义域是__________.

12．在等比数列中，如果a₆=6,a₉=9, 则a₃=__________.

13. y=sin²（x）－cos²（x）＋1的周期是_______________.

14．关于函数f(x)=lg(x≠0,x∈R)有下列命题：

①函数y=f（x）的图象关于y轴对称。

②当x>0时，f（x）是增函数；当x<0时，f（x）是减函数。

③函数f（x）的最小值是lg2。

④当-1<x<0或x>1时，f（x）是增函数。

⑤f（x）无最大值，也无最小值。

其中正确的命题的序号是________。（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

三  解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

15．（本小题满分12分）

求下列函数的导数：

   y= e^x?┮x

16 （本小题满分12分）

 已知函数，且，

     (1) 求a, b的值;

    （2）求的最大值与最小值；

（3）若，，且，求和值.

17（本小题满分14分）

已知曲线和它们交于点P,过P点的两条切线与轴分别交于A，B两点。

求△ABP的面积。

18 （本小题满分14分）

在等差数列中，首项，数列满足

     （1）求数列的通项公式；

     （2）求

19．（本小题满分14分）

已知函数f（x）＝x³＋ax²＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值

（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间

（2）若对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c²恒成立，求c的取值范围。

20．（本小题满分14分）

设a为实数，记函数的最大值为g(a)。

（1）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)

（2）求g(a)

（3）试求满足的所有实数a。

一. 选择题 :( 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. ） .

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

D

B

A

C

A

C

B

A

D

二. 填空题: 本大题有4小题, 每小题5分, 共20分.

11  (-∞,2 〕                           12      4

13   1                                 14     ①③④

三. 解答题

15  （本小题满分12分） ∞

解:   由    y= e^x?┮x

        得   y′= (e^x)′?┮x+ (e^x) ?(┮x)′

                = e^x ?┮x+ e^x ?

                = e^x(┮x +)

16 （本小题满分14分）

解：由题意得：      ∴

         ∴

    （2）_max=1+      _min=1-

    （3）∵     ∴

         ∴或

         ∴（舍去）或（K∈Z）

         ∴

17（本小题满分14分）

 解 ： 由和y=x²得点p的坐标为(1,1)

 又的导数为y′=-,则在P点的导数为－1

因此在P点的切线方程为 y－1=－1(x－1)

 即y=－x+2                                          .

那么点B的坐标为(2,0),  同理A点的坐标为(,0 ).

∴三角形的面积为S_ABP=ㄏABㄏ?h=××1=

18（本小题满分14分）

解：（1）设等差数列的公差为d， ，

由，解得d=1. 

（2）由（1）得

设，

则

两式相减得

19．（本小题满分14分）

解：（1）f（x）＝x³＋ax²＋bx＋c，f¢（x）＝3x²＋2ax＋b

由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0得

a＝，b＝－2

f¢（x）＝3x²－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：

x

（－¥，－）

－

（－，1）

1

（1，＋¥）

f¢（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

­

极大值

¯

极小值

­

所以函数f（x）的递增区间是（－¥，－）和（1，＋¥）

递减区间是（－，1）

（2）f（x）＝x³－x²－2x＋c，xÎ〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c

为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。

要使f（x）<c²（xÎ〔－1，2〕）恒成立，只需c²>f（2）＝2＋c

解得c<－1或c>2

20（本小题满分14分）

解：（I）∵，

∴要使有意义，必须且，即

∵，且……①    ∴的取值范围是。

由①得：，∴，。

（II）由题意知即为函数，的最大值，

∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：

（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，

由知在上单调递增，故；

（2）当时，，，有=2；

（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，

若即时，，

若即时，，

若即时，。

综上所述，有=。

（III）当时，；

      当时，，，∴，

，故当时，；

当时，，由知：，故；

当时，，故或，从而有或，

要使，必须有，，即，

此时，。

综上所述，满足的所有实数a为：