2009年 高 考 模 拟 试 卷
数学（文科）试题
题 号
一
二
三
得 分
注意事项：
1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟．
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上．考试结束，试题和答题卡一并收回．
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．
第Ⅰ卷（共60分）
参考公式：
球的表面积公式：S＝4πR2，其中R是球的半径.
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率：
Pn（k）＝C
pk(1-p)n-k（k＝0，1，2，…，n）.
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）＝P（A）+P（B）.
如果事件A、B相互独立，那么P（AB）＝P（A）?P（B）.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合
都是非空集合，则“
”是“
且
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D． 既不是充分条件，也不是必要条件
2．已知函数
的一个零点在
内，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B． C．
D．
3．已知
是虚数单位，则复数
的模为 （ ）
A．１ B．
C．
D．
4．在正方体ABCD－A1B
成角的正切值为 （ ）
A．
B．
C．1 D．
5．直线
与圆
相交于两点M、N， 若满足
，
则
?
（Ｏ为坐标原点）等于 （ ）
A． －2 B．
－
6．若函数
，
的表达式是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
在
上是增函数，
，
若
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求
输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，
应该填入下面四个选项中的 （ ）
A．c > x B．x > c
C．c > b D．b > c
9．直线
将圆
分成四块，用
种不同的颜料涂色，要求共边的两块颜色互异，每块只涂一色，则不同的涂色方案共有 （ ）
A．240
B．
10．对于方程：
，有如下几种说法：
①该曲线关于x轴对称； ②该曲线关于y轴对称；
③该曲线关于原点对称； ④该曲线是一个封闭图形且面积大于π。
其中正确命题的序号为 （ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
11．在正方体ABCD
A1B
A．不存在 B．有且只有两条
C．有且只有三条 D．有无数条
12．已知Ａ、Ｂ两地之间有６条网线并联，这６条网线能通过的信息量分别为1，1，2，2，3，3．现从中任取３条网线，设可通过的信息量为Ｘ，当Ｘ≥６时，可保证线路信息畅通（通过的信息量Ｘ为三条网线上信息量之和），则线路信息畅通的概率为 （ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中的横线上.
13．已知
，
，则
＿＿＿＿＿＿．
14. 设
，其中
满足
若
的最大值为６，则的最小值为 ．
15．设是二次函数，方程
有两个相等的实根，且
，
＿＿＿．
16．已知命题：椭圆
与双曲线
的焦距相等．试将此命题推广到一般情形，使已知命题成为推广后命题的一个特例：
．
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
在四边形ABCD中， BD是它的一条对角线，且
，
，
．⑴若△BCD是直角三形，求
的值；⑵在⑴的条件下，求
．
18．（本小题满分12分）
已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都是
，一个植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验中，种子发芽则称该次实验是成功的，种子没有发芽则称该次实验是失败的．
（Ⅰ）若该研究所做了三次实验，求至少两次实验成功的概率；
（Ⅱ）若该研究进行实验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率．
19．（本小题满分12分）
如图，正三棱锥S―ABC中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点．求：
（Ⅰ）
的值；
（Ⅱ）二面角S―BC―A的大小；
（Ⅲ）正三棱锥S―ABC的体积．
20．（本小题满分12分）
已知数列
,其中
为实数，
为正整数.
（Ⅰ）证明：当
（Ⅱ）设
为数列
的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有 
若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分12分）
设函数
在
上单调递增，在
上单调递减．
（Ⅰ）求
之间的关系式；
（Ⅱ）若
在
处取得极小值，求的解析式；
（Ⅲ）当
时，若
在
上为单调函数？若存在，求出实数
的取值范围；若不存在，说明理由．
22．（本小题满分14分）
已知椭圆
，它的离心率为
，直线
与以原点为圆心，以椭圆
的短半轴长为半径的圆相切.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左焦点为
，左准线为
，动直线
垂直于直线，垂足为点
，线段
的垂直平分线交于点
，求动点的轨迹
的方程；
（Ⅲ）将曲线向右平移2个单位得到曲线
,设曲线的准线为
，焦点为
，过作直线交曲线于
两点，过点
作平行于曲线的对称轴的直线，若
，试证明三点
（
为坐标原点）在同一条直线上．
一、选择题：
1．解析：B．由
且
能够推出
；反之，由只能推出或，而不能推出且．故“”是“且”的必要不充分条件，故选B．
评析：有关充要条件的判定问题，概念性较强，进行判断时，必须紧扣概念．一方面，要正确理解充要条件本身的概念，进行双向推理，准确判断；另一方面，还要注意根据具体问题所涉及到的数学概念来思考．本题中，弄清并集和交集概念中“或”与“且”的关系显得很重要．
2．解析：B．∵△＝
．要使函数
的一个零点在
内，必须满足条件：
，即
，
∴
，∴实数k的取值范围为(2，3)．
3．解析：Ｄ．化简复数
可得
，∴
，
故选Ｄ．
4．解析：Ｂ 先作出直线A1B与平面BC1D1所成角，再通过解三角形求出其正切值．如图，连结
交
于
，连结
．由
，
，又
，得
，所以
就是直线A1B与平面BC1D1所成角．在直角
中，求得
，故选Ｂ．
评析：平面的斜线与平面所成的角，就是这条斜线与它在该平面上
的射影所成的锐角，根据题目的条件作出斜线在该平面上的射影
是实现解题的关键，而作射影的关键则是作出平面的垂线，要注
意面面垂直的性质在作平面的垂线时的应用．
5．解析：
A．特值法．取B=0，A=1，C=－1，则M(1，
)，
N(1，－)， ∴
= x1x2+y1y2 =－2．故选A ．
6．解析
Ｂ．设点
是函数
上的任意一点，点
关于点
的对称点为
，则
由
在
上，
得
，∴
，即
．故选Ｂ．
7．解析： C．图象法．由
的图象可得，在
上是增函数，在
上是减函数，又是偶函数，∴
，
∴
，解得
．故选Ｃ．
8．解析：Ｂ，由
，得：
，即
，
解之得
，由于
，故
；选Ｂ
9．解析： B．如果四块均不同色，则有
种涂法；如果有且仅有两块同色，它们必是相对的两块，有
种涂法；如果两组相对的两块分别同色，则有
种涂法．根据分类计数原理，得到涂色方法种数为
（种），故选B．
10．解析：选D．①②③易于判断其真。
.
，即曲线上任一点P(x,y)在单位图
外，(点(±1，0)在圆上)，
则S>π?12=π
评析：f(x,y)=f(x,－y)
曲线f(x,y)=0，关于x轴对称；
f(x,y)=f(－x, y)曲线f(x,y)=0，关于y轴对称；
f(x,y)=f(－x, －y)曲线f(x,y)=0，关于原点对称。
11．解析：D，在EF上任意取一点M,直线
与M确定一个平面，
这个平面与CD有且仅有1个交点N, 当M取不同的位置就确
定不同的平面，从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这
3条异面直线都有交点的.如右图：
评析：本题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生
的空间想象能力。
12．解析：C．Ｐ（Ｘ＝８）＝
，Ｐ（Ｘ＝７）＝
，
Ｐ（Ｘ＝６）＝
， 所以Ｐ（Ｘ≥６）＝
，
即线路信息畅通的概率为
，故选C．
二、填空题：
13．解析：
．由
，得
，即
，又由
，得
，∴
，
于是，
．
14. 解析：
．如图，
过点
，
．
在点
处取得最小值，点在直线
上，
，∴
．
评析：简单的线性规划问题，其约束条件是平面上的一个
多边形闭区域，或者是向某一方向无限延展的半闭区域，而目标函数一般在边界的顶点处取得最值．解题时通常运用图解法，根据题意画出图形，从图形中寻求思路、获得答案，体现了数形结合的思想方法．
15．解析：f(x)=x2+2x+1 ．设f(x)=ax2+bx+c
(a≠0)，则△=b2－
∴
，故 f(x)=x2+2x+1 ．
16．解析：椭圆
与双曲线
的焦距相等．由椭圆
与双曲线
的焦距相等，分析椭圆和双曲线的标准方程中参数之间的关系，运用类比推理的方法，不难得到推广后的一个命题为：椭圆与双曲线的焦距相等．
评析：推广命题有多种方法，其中类比推理是一种常用方法．值得指出的是，本题的答案不唯一，例如，我们还可以得到推广后的更具一般性的命题：椭圆
与双曲线
的焦距相等．
三、解答题：
17．解析：（Ⅰ）
，在
中，由余弦定理，
得
，
∴
，
（2分）
由
，
，
由
得，
，
∴
，从而
（4分）
由题意可知
，∴
，
（5分）
又∵△BCD是
，∴
当
时，则
，由
，
∴
；
当时，则
，由
，∴
；
综上，
．
（7分）
（Ⅱ）由（1）知
，∴向量
与
的夹角为
， （9分）
当
时，
，
，
∴
．
（10分）
当时，，
，
∴
．
（12分）
评析：本题考查平面向量和解三角形的基础知识，考查分类讨论的思想方法．求解时容易发生的错误是：（1）将条件“△BCD是直角三形”当作“△BCD是以角
是直角三形”来解，忽略对
为直角的情况的讨论；（2）在计算
时，将
当作向量与的夹角，忽略了确定两个向量的夹角时必须将它们的起点移到一起．暴露出思维的不严谨和概念理解的缺陷，在复习中要引起重视，加强训练．
18．解析: （Ⅰ）做了三次实验，至少两次实验成功的情形有两种：
（1）恰有两次成功，其概率为
；
（2分）
（2）三次都成功，其概率为
．
（4分）
故得所求之概率为
． （6分）
（Ⅱ）在第4次成功之前，共做了6次试验，其中三次成功、三次失败，且恰有两次连续失败，其各种可能情况的种数为
．
（10分）
因此，所求之概率为
．
（12分）
19．解析：（Ⅰ）∵SB=SC，AB=AC，M为BC中点，
∴SM⊥BC，AM⊥BC． （2分）
由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即
得
．
（4分）
（Ⅱ）作正三棱锥的高SG，则G为正三角形ABC的中心，G在AM上，
∵SM⊥BC，AM⊥BC，
∴∠SMA是二面角S―BC―A的平面角．（6分）
在Rt△SGM中，∵
∴∠SMA=∠SMG=60°，
即二面角S―BC―A的大小为60°． （8分）
（Ⅲ）∵△ABC的边长是3，
∴
， （10分）
∴
．
（12分）
评析计算二面角大小，既可以根据二面角的定义，通过作出二面角的平面角，再解三角形求角，也可以运用向量方法，转化为计算两个平面的法向量的夹角．做题时要考虑前后联系，注意选择简便的方法．
20．解析：(Ⅰ)证明：假设存在一个实数，使｛an｝是等比数列，则有
,即
（
）2=
2
矛盾.
所以｛an｝不是等比数列.
（3分）
（Ⅱ）证明：∵
又
由上式知
故当
数列｛bn｝是以
为首项，
为公比的等比数列.
（7分）
（Ⅲ）当
由（Ⅱ）得
于是
当
时，
，从而
上式仍成立.
要使对任意正整数n , 都有
即
（9分）
令
当n为正奇数时，
当n为正偶数时，
于是可得
综上所述，存在实数
，使得对任意正整数
，都有
的取值范围为
（12分）
评析：（1）求解等差数列与等比数列的有关问题，定义、公式和性质是主要工具，要注意抓住基本量───首项和公差（公比），方程思想、化归思想和运算能力是考查的重点；（2）正面求解，直接证明难以突破时，可以考虑从反面入手，运用正难则反的思想来处理，反证法就是从反面入手的一种重要的推理方法，一般地，以否定的形式出现的数学命题，我们常用反证法来实现证明。
21．解析：（Ⅰ）
，……（1分）
∵函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
∴在
处取得极大值，有
，
（3分）
即
，这就是所求的
之间的关系式． （4分）
（Ⅱ）当在
处取得极小值，有
，即
，
①
又由（Ⅰ）有：
②联立①和②，解得
．
（5分）
此时，
，在
上
，
在
上
，
∴在处确可取得极小值，故， （7分）
从而
．
（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得：
，
∴
，
它在
上为减函数,在
为增函数. （10分）
若存在实数
，使
在
上为单调函数，则有
，得
．又因为
，有
，这与矛盾．
所以满足题意的实数不存在．
（12分）
评析: 导数是研究函数性质的一个有力工具，运用导数求函数的单调区间和极值，可转化为解不等式
和方程
，显得非常简捷且易于操作．值得注意的是：是
取得极值的必要条件，因此，在（Ⅱ）中，由求出，必须检验．
22．解析：（Ⅰ）由题意可得
， （2分）
由
，得
，∴
, （4分）
∴椭圆
的方程为
.
（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆的左焦点为
，左准线为
,
连结
，则
，设
，则
,
∴
，
（6分）
化简得
的方程为
.
（8分）
（Ⅲ）将曲线向右平移2个单位,得曲线
的方程为: 
,其焦点为
，准线为
，对称轴为
轴． （10分）
设直线的方程为
，代入y2=4x，得y2－4ty－4=0．
由题意，可设
(
)，
(
)，则y1y2=－4，
且有
（12分）
∴
，
，
得
．
∴
三点共线．
（14分）
评析：证明三点共线的方法很多,这里运用向量共线定理来证，体现了平面向量与解析几何知识的交汇和平面向量知识在解析几何中的应用．近几年的高考突出了在知识网络的交汇点处设计命题的要求，平面向量与解析几何知识的综合考查成为一个不衰的热点，复习中要引起重视．