2009届湖北省黄冈市黄州区一中高考模拟卷
数学试题(理科)
命题人:杨安胜 审题人:童建辉
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数则的值为 ( )
A.10
B.
2.在等差数列中,有,则此数列的前13项之和为( )
A.24 B.
3. 有3个男生和3个女生站成一排照像.女生甲和女生乙必须相邻站,而女生甲和女生乙均不与女生丙相邻,则不同的站法有( )种.
A. B. C. D.
4. 若为锐角,且,则 ( )
A. B. C. D.
5.已知函数
的图象如右图所示,则必有 ( )
A.
B.
C.
D.
6.已知实数、满足,则的最大值为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
7.已知在中三内角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c,,则“a,b,c成等比数列”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.正四棱锥的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为,则此球的表面积为 ( )
A. B. C. D.
9.已知双曲线E的离心率为e,左、右两焦点分别为F1、F2,抛物线C以F2为顶点,F1为焦点,点P为抛物线与双曲线右支上的一个交点,若a|PF2|+c|PF1|=8a2(其中a、c分别为双曲线的实半轴长和半焦距),则e的值为 ( )
A. B. 3 C. D.
10.设为的边上一点,为内一点,且满足
,则 ( )
A.最小值为 B.最大值为 C.最小值为 D.最大值为
二、填空题:本大题共5个小题,每小题5分,共25分.
11.复数在复平面上对应的点位于第一象限,则的取值范围是 。
12. 的展开式中的系数是 .
13.如果ξ~B(20,),则使P(ξ=k)取最大值的k的值是____________.
14.设连续掷两次骰子得到的点数分别为m.n,则直线y=x与圆(x-3)2+y2=1相交的概率是___________.
15.给出以下四个命题:
①若,,则。
②函数的反函数为。
③函数为奇函数。
④对于函数,当时,恒成立。
其中所有真命题的序号为 .
三、解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)锐角△ABC中,角、、的对边分别是、、,,向量向量∥ .
(Ⅰ)求边长的取值范围; (Ⅱ)当时,求边长的值.
17. (本小题满分12分)在某次抗旱救灾中,准备用炮弹射击的方法实行人工降雨,炮弹射完或已降雨则停止射击;已知只有5发炮弹,第一次命中积云只能使云层中的水分子凝聚,第二次命中同一积云才能降雨,每次射击是相互独立的,且每次命中的概率均为,设射击的次数为.(Ⅰ)试问此次人工降雨成功的可能性有多大?(Ⅱ)求的分布列及
的数学期望与方差.
18.(本小题满分12分)已知在多面体ABCDE中,AB⊥ 平面ACD,DE∥AB,AC = AD = CD = DE = 2,F为CD的中点.
(Ⅰ)求证:AF⊥平面CDE;
(Ⅱ)求平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大小;
(Ⅲ)求点A到平面BCD的距离的取值范围.
19.(本小题满分12分)
已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,直线与椭圆在第一象限内的交点是,点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点,另一个焦点是,且。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线过点,且与椭圆交于两点,求的内切圆面积的最大值。
20.(本小题满分13分)已知函数(,).
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)若不等式对一切正整数恒成立,求实数的取值范围.
21. (本小题满分14分)已知正项数列满足对一切,有,其中.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若(为非零常数,),问是否存在整数,使得对任意 ,都有.
(Ⅲ) 求证: 当时, .
1. C 【解析】∵,∴=
.
说明:解答本题要深刻理解导数的定义,掌握概念形式,看似求极限,实则求导数,如何在极限与导数之间建立起联系是解决本题的关键,导数是特殊情况下的极限,这一基本常识容易被学生忽略,从中也体现出对学生基本素质的考查.
2.C 【解析】,所以选C.
3. 【解析】3个男生先排成一排有种方法;女生甲和女生丙插在3个男生间及前后共四个位置中的两个位置,有种方法;女生乙只能排在女生甲的左侧或右侧,有2种方法.由分步计算原理,共有种方法.(或)故选.
4. 【解析】
故选项.也可求解如下:
故选项.
5. 【解析】,由函数图象的走向可知,单调性是先增后减再增,因此导函数的值应该是随由小到大,先正后负再为正,因此,从函数图象可以确定函数有两个极值点,易知方程有相异号的两个实数根且负根的绝对值大,由根与系数的关系可判定,故选B.
说明:本题难度较大,综合性强,如何从图中得出极值点及单调性的特点是解决本题的关键,同时又要运用二次函数的性质解题,对一元二次方程根与系数的关系也进行了考查.由单调性得开口方向,由极值点得方程的根,由方程的根再判定字母的取值,从中也体现出对学生的思维品质有较高的要求
6.D【解析】在点(0,一1)处目标函数取得最大值为9,故选D.
7. A【解析】因为中的三边a,b,c成等比数列,所以,根据余弦定理得:由此得 ,又,所以A+C=180。但由却不能推出a,b,c成等比数列.故选择A。
【所猜考点】余弦定理、三角形内角和、等比数列概念、基本不等式、充要条件等考点。在考纲中对以上知识点的考查都有明确的要求。
【猜题理由】此题可作为高考选择题中的中档题,试题考查多个知识点的综合性。主要考查三角形的边角之间的关系,同时又以等比数列和充要条件这两个知识点为依托。试题基础知识点多,对考生的要求较高,因此这是立意新颖,且质量较高的选择题。近几年高考题选择题的难度不太大,所考查的都是比较基础的知识点,但所考的知识点并不单一。大多情况在知识交汇处命题,例如充要条件的判断往往与其他知识点结合一起进行考查。数学教学要抓基础知识点,同时要将一些基础知识点有机地整合形成具有综合性的问题,提高学生灵活运用基础知识解决综合性问题的能力。单一的知识不利于学生综合能力的提升。
8. 【解析】设球的半径为, 为正方形中心,在直角三角形中
有在直角三角形中有:
两式联立解得,故球的表面积为,故选B
9.A 【解析】如右图所示,设点P的坐标为(x0,y0),
由抛物线以F2为顶点,F1为焦点,可得其准线的方
程为x=3c, 根据抛物线的定义可得|PF1|=|PR|=3c-x0,
又由点P为双曲线上的点,根据双曲线的第二定义可得
=e, 即得|PF2|=ex0-a,
由已知a|PF2|+c|PF1|=8a2,可得-a2+3c2=8a2,即e2=3,
由e>1可得e=, 故应选A.
说明:本题难度中等偏难,且很有新意,一般地说,学生在处理圆锥曲线问题时,习惯于单一的思维,当需要同时考虑两条(或两条以上)圆锥曲线性质的综合应用时,往往有些不知所措,从中也体现出对学生的思维品质有较高的要求。
10.D 【解析】 为的边上一点,由,所以=.
【猜题理由】向量共线在三角形中体现,三角形面积公式,以及基本不等式,代数式的最值问题都是高考的常考点,几乎每年的高考题中都考这些知识点。2009年的考纲对此有明确要求。本题将这些考点联合在一起,很有创意。既考查学生的基础知识,同时能检测学生综合运用这些基本知识解决问题的能力。可作为高考中高档选择题出现。
【构思点拨】向量的加减运算及几何意义,向量平行的判断是新高考的重要内容,高考复习时要重视训练。
11.
12. 【解析】
.
其展开式中含的项是:,系数等于.
13.【解析】 ≥1,得k≤6.
所以当k≤6时,P(ξ=k+1)≥P(ξ=k),当k>6时,P(ξ=k+1)<P(ξ=k),其中k=6时,P(ξ=k+1)=P(ξ=k),从而k=6或7时,P(ξ=k)取得最大值.
14. 15. ③
16. 【解析】(Ⅰ)锐角△ABC中,由∥得:,
由正弦定理得: ……1分
……2分
△ABC是锐角三角形,, ……3分
,, ……4分
,角 ……5分
由余弦定理得
……6分
,,, ……7分
, ……8分
,即,,
边长的取值范围是. ……9分
另解提示:对,用余弦定理换去和,仍可得.
(Ⅱ)当时, ……10分
……11分
,边长的取值为. ……12分
17. 【解析】(Ⅰ)设记事件A为此次射击降雨成功,则
5次射击均未射中积云的概率为; …… 2分
5次射击中恰有一次射中积云的概率为 …… 4分
…… 6分
(Ⅱ)的所有可能取值为2,3,4,5,
…… 7分
…… 8分
的分布列为: 2 3 4 5
P …… 10分
…… 11分
18.证明: (Ⅰ)∵AB⊥平面ACD,AB∥DE,∴DE⊥平面ACD,∵AF平面ACD,∴DE⊥AF.又∵AC=AD=CD,F为CD中点,∴AF⊥CD.∵DEÌ平面CDE,CDÌ平面CDE,CD∩DE=D,∴AF⊥平面CDE. …… 3分
(Ⅱ)解法一:∵AB∥DE,AB(/平面CDE,DEÌ平面CDE,∴AB∥平面CDE,设平面ABC∩平面CDE=l,则l∥AB.即平面ABC与平面CDE所成的二面角的棱为直线l.
∵AB^平面ADC,∴l^平面ADC.∴l^AC,l^DC.∴ÐACD为平面ABC与平面CDE所成二面角的平面角.∵AC=AD=CD,∴ÐACD=60°,∴平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大小为60°.…… 7分
(Ⅱ)解法二:如图,以F为原点,过F平行于DE的直线为x轴,FC,FA所在直线为y轴,z轴建立空间直角坐标系.∵AC=2,∴A(0,0,),设AB=x,B(x,0,),C(0,1,0),((AB=(x,0,0),((AC=(0,1,-),设平面ABC的一个法向量为n=(a,b,c),则由((AB×n=0,((AC×n=0,得a=0,b=c,不妨取c=1,则n=(0,,1).∵AF^平面CDE,∴平面CDE的一个法向量为((FA=(0,0,).
cos<n,((FA>= eq \o(\s\up8(((FA=,<n,((FA>=60°.
∴平面ABC与平面CDE所成的小于90°的二面角的大小为60°.…… 7分
(Ⅲ)解法一:设AB=x,则x>0.∵AB^平面ACD,∴AB^CD.又∵AF^CD,ABÌ平面ABF,AFÌ平面ABF,AB∩AF=A,∴CD^平面ABF.∵CDÌ平面BCD,∴平面ABF^平面BCD.连BF,过A作AH^BF,垂足为H,则AH^平面BCD.线段AH的长即为点A到平面BCD的距离.在Rt△AFB中,AB=x,AF=CD=,∴BF=,AH==∈(0,).…… 12分
(Ⅲ)解法二:设AB=x,∵AC=CD=DA=2,AB^平面ACD.∴VB-ADC=×S△ADC×BA=××22×x=x.
∵BC=BD=,CD=2,∴S△BCD=×2×=,设点A到平面BCD的距离为d,则VA-BCD=×S△BCD×d=.∵VB-ADC=VA-BCD.∴x=,解得d=∈(0,). …… 12分
19.(Ⅰ)设椭圆方程为,点在直线上,且点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点, 则点为。-------------------1分
,而为,则有
则有,所以 --------------------2分
又因为
所以 ---------------------3分
所以椭圆方程为: ---------------------4分
(Ⅱ)由(1)知,过点的直线与椭圆交于两点,则
的周长为,则(为三角形内切圆半径),当的面积最大时,其内切圆面积最大。 --------------------5分
设直线方程为:,,则
-----------------7分
所以 ----------------9分
令,则,所以,而在上单调递增,
所以,当时取等号,即当时,的面积最大值为3,结合,得的最大值为 ----------------12分
20.【解析】(Ⅰ),……… 2分
由,得.
,,.
又.
函数的单调递增区间为,递减区间为.… 6分
(Ⅱ)【法一】不等式,即为.……………(※)
令,当时,.
则不等式(※)即为. …9分
令,,
在的表达式中,当时,,
又时,,
在单调递增,在单调递减.
在时,取得最大,最大值为. ……12分
因此,对一切正整数,当时,取得最大值.
实数的取值范围是. …………… 13分
【法二】不等式,即为.………………(※)
设,
,
令,得或. ………… 10分
当时,,当时,.
当时,取得最大值.
因此,实数的取值范围是. ………… 13分
21. 【解析】(Ⅰ)对一切有
,
即 ,
() ………… 2分
由及两式相减,得:
∴是等差数列,且, . ………… 5分
说明:本小题也可以运用先猜后证(数学归纳法)的方法求解.给分时,猜想正确得2分,经证明给5分.
(Ⅱ)假设存在整数,使得对任意 ,都有.
∵ ∴
∴
∴ ⑤
当()时,⑤式即为 ⑥
依题意,⑥式对都成立,∴λ<1 ………… 7分
当()时,⑤式即为 ⑦
依题意,⑦式对都成立,∴ ………… 9分
∴∴存在整数,使得对任意,都有 …10分
(Ⅲ) 由,
知,
因此,只需证明. …………11分
当或时,结论显然成立.当时,
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