清华附中2006-2007高三第一次月考试题
数学 （理科）
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．如果集合P = {x | | x | > 2}，集合T = {x | 3x > 1}，那么，集合P∩T等于
A．{x | x > 0} B．{x | x > 2}
C．{x | x < - 2或x > 0} D．{x | x < - 2或x > 2}
2．已知函数
A．- 1 B．5 C．- 8 D．3
3．映射f：A→B，如果满足集合B中的任意一个元素在A中都有原象，则称为“满射”．已知集合A中有4个元素，集合B中有3个元素，那么从A到B的不同满射的个数为
A．24 B．6 C． 36 D．72
4．命题p：若
的充分而不必要条件．命题q：函数
的定义域是
则
A．“p或q”为假 B．“p且q”为真 C．p真q假 D．p假q真
5．已知R为实数集，Q为有理数集.设函数
，则
A．函数
的图象是两条平行直线 B．
C．函数
恒等于0 D．函数的导函数恒等于0
6．设函数
给出下列四个命题：
①
时，
是奇函数
②
时，方程
只有一个实根
③的图象关于
对称
④方程至多两个实根．
其中正确的命题是
A．①、④ B．①、③ C．①、②、③ D．①、②、④
7．将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点（2，0）与点（- 2，4）重合，若点（7，3）与点（m ,n）重合，则m+n的值为
A．4 B．- 4 C．10 D．- 10
8．设
、
，集合
，
，若
为单元素集，则
值的个数是
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．“
”是“
且
”的
条件．
10．设函数
,若
，
的反函数
，则
的值为
．
11．已知函数
连续，则a的值为
．
12．如果曲线
与直线y = x相切于点P，则点P的坐标是
，a =
．
13．如果函数f（x）的定义域为R，对于m，n Î R，恒有f（m + n）= f（m）+ f（n） - 6，且f（- 1）是不大于5的正整数，当x > - 1时，f（x）> 0．那么具有这种性质的函数f（x） = （注：填上你认为正确的一个函数即可，不必考虑所有可能的情形）
14．已知
，抛物线
与x轴有两个不同交点，且两交点到原点的距离均小于1，则
的最小值为
．
三、解答题（共80分）
15．（12分）
已知函数
．若函数的定义域和值域都是[1，a]（a>1），求a的值．
16．（13分）
某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y（分钟）与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：
．求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻．
17．（13分）
已知命题p：方程a2x2 + ax - 2 =
0在[- 1，1]上有解；命题q：有且只有一个实数x满足不等式x2 + 2ax +
18．（14分）
设P（x + a，y1），Q（x，y2），R（2 + a，y3）是函数f（x） = 2x + a 
的函数图象上三个不同的点，且满足y1 + y3 = 2y2的实数x有且只有一个，试求实数a的取值范围．
19．（14分）
已知函数
．
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（2） 若函数f（x）的图象在x = 1处的切线的斜率为0，且
，已知a1 = 4，求证：an ³ 2n + 2；
（3）在（2）的条件下，试比较
与
的大小，并说明你的理由．
20．（14分）
已知函数f（x）的定义域为{x|
x ≠ kπ，k ∈ Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（x - y） = 成立，且f（a） = 1（a为正常数），当0 < x <
（1）判断f（x）奇偶性；
（2）证明f（x）为周期函数；
（3）求f （x）在[
一、选择题（每小题5分，共40分）
1－8．BACDD CCD
二、填空题（每小题5分，共30分）
9． 必要非充分
10． 4
11． 3
12．（e，e） 
13． x + 6 说明：f（x） = ax + 6 （a = 1，2，3，4，5）均满足条件．
14． 10 ．
三、解答题（共80分）
15．（12分）
．
16．（13分）
（1）当6≤t<9时.
（2分）
（3分）
（5分）
（分钟）（6分）
（2）
∴
（分钟）（8分）
（3）
∴
（分钟）
综上所述，上午8时，通过该路段用时最多，为18.75分钟。（13分）
17．（13分）
，∴
（4分）
∴
（6分）
“有且只有一个实数满足
”，即抛物线
与x轴有且只有一个交点，
∴
，∴
（10分）
∴
∴
（13分）
18．（14分）
19．（14分）
（1）
，∴
．
要使函数f（x）在定义域
内为单调函数，则在内
恒大于0或恒小于0，
当
在内恒成立；
当
要使
恒成立，则
，解得
，
当
要使
恒成立，则
，解得
，
所以
的取值范围为或或
．
根据题意得：
，∴
于是
，
用数学归纳法证明如下：
当
，不等式成立；
假设当
时，不等式
成立，即
也成立，
当
时，
，
所以当，不等式也成立，
综上得对所有
时5，都有
．
（3） 由（2）得
，
于是
，
所以
，
累乘得：
，
所以
．
20．（14分）
（1）∵定义域{x| x ≠ kπ，k∈Z }关于原点对称，
又f（- x） = f [（a - x） - a]= = = = = = - f （x），
对于定义域内的每个x值都成立
∴ f（x）为奇函数（4分）
（2）易证：f（x + 4a） = f（x），周期为
（3）f（2a）= f（a + a）= f [a -（- a）]= = = 0，
f（3a）=
f（
先证明f（x）在[
设
∴ f（x - 2a）= = - > 0，
∴ f（x）< 0（10分）
设2a < x1
< x2 <
则0 < x2 - x1 < a，∴ f（x1）< 0 f（x2）< 0 f（x2 - x1）> 0，
∴ f（x1）- f（x2）= > 0，
∴ f（x1）> f（x2），
∴ f（x）在[
∴ f（x）在[