1.（2003京春理，9）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（    ）

A.42                 B.30                 C.20                 D.12

2.（2003京春文，10）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（    ）

A.6                             B.12                                 C.15                              D.30

3.（2002京皖春理，6）从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（    ）

A.280种                                                       B.240种   

C.180种                                                       D.96种

4.（2002京皖春文，6）若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，则选派方案共有（    ）

A.180种                                                       B.360种  

C.15种                                                         D.30种

5.（2002京皖春理，10）对于二项式（+x³）ⁿ（n∈N^*），四位同学作出了四种判断：

①存在n∈N ^*，展开式中有常数项  ②对任意n∈N ^*，展开式中没有常数项  ③对任意n∈N ^*，展开式中没有x的一次项  ④存在n∈N ^*，展开式中有x的一次项上述判断中正确的是（    ）

A.①③                                           B.②③  

C.②④                                            D.①④

6.（2002京皖春文，10）在（+x²）⁶的展开式中，x³的系数和常数项依次是（    ）

A.20，20                                        B.15，20  

C.20，15                                        D.15，15

7.（2002全国文，12、理，11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（    ）

A.8种                                            B.12种  

C.16种                                           D.20种

8.（2002北京文，9）5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为（    ）

A.480                                                    B.240  

C.120                                                    D.96

9.（2002北京理，9）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（    ）

A.种                                      B.3种  

C.种                                      D.种

10.（2001京皖春，3）等于（    ）

A.0                    B.2                    C.                   D.

11.（2001天津理，9）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分，一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（    ）

A.3种                B.4种                 C.5种                 D.6种

12.（2000京皖春，8）从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“ｑu”相连且顺序不变）的不同排列共有（    ）

A.120个            B.480个            C.720个            D.840个

13.（1999全国理，8）若（2x＋）⁴＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋a₃x³＋ax⁴，则（a₀＋a₂＋a₄）²－（a₁＋a₃）²的值为（    ）

A.1                    B.－1                 C.0                    D.2

14.（1999全国，14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（    ）

A.5种                       B.6种                       C.7种                       D.8种

15.（1998全国理，11）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1

名医生和2名护士.不同的分配方法共有（    ）

A.90种                     B.180种                   C.270种                   D.540种

16.（1997全国理，15）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（    ）

A.150种                   B.147种                   C.144种                   D.141种

17.（1997全国文）四面体的一个顶点为A，从其他顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（    ）

A.30种                      B.33种                      C.36种                      D.39种

18.（1996全国文）6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（    ）

A.720种                    B.360种                    C.240种                    D.120种

19.（1995全国文15，理13）用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（    ）

A.24个                     B.30个                     C.40个                     D.60个

20.（1995全国，6）在（1－x³）（1+x）¹⁰的展开式中，x⁵的系数是（    ）

A.－297                     B.－252                     C.297                               D.207

21.（1994全国，10）有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（    ）

A.1260种                 B.2025种                  C.2520种                  D.5040种

22.（1994上海，18）计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（    ）

A.种                                                 B.种   

C.种                                                D.种

23.（2003上海春，9）8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有_____场比赛.

24.（2002上海7）在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分.若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是_____.（结果用数值表示）

25.（2002上海春，7）六位身高全不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同学高的概率是_____.

26.（2002上海春，5）若在（）ⁿ的展开式中，第4项是常数项，则n=      .

27.（2002全国理，16）（x²+1）（x－2）⁷的展开式中x³项的系数是      .

28.（2002上海文，9）某工程由下列工序组成，则工程总时数为      天.

29.（2002天津文，15）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm²）：

其中产量比较稳定的小麦品种是_____.

30.（2001上海，7）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种      种．（结果用数值表示）

31.（2001全国，16）圆周上有2n个等分点（n＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为      .

32．（2001上海理，8）在代数式（4x²－2x－5）（1＋）⁵的展开式中，常数项为     ．

33.（2001全国文，13）（x＋1）¹⁰的二项展开式中x³的系数为       .

34.（2001上海春）在大小相同的6个球中，2个红球，4个白球.若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是_____.（结果用分数表示）

35.（2001广东河南，13）已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组成共有      种可能（用数字作答）.

36.（2001江西、山西、天津理）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_____.（用数字作答）

       37.（2001上海文）利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是_____.

38.（2000上海春，4）若（+a）⁵的展开式中的第四项是10a²（a为大于零的常数），则x=_____.

39.（2000上海春，10）有n（n∈N^*）件不同的产品排成一排，若其中A、B两件产品排在一起的不同排法有48种，则n=_____.

40.（2000京皖春理，17）展开式中的常数项是_____.

42.（2000年上海，9）在二项式（x－1）¹¹的展开式中，系数最小的项的系数为    .（结果用数值表示）

43.（2000上海，10）有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3.现任取3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是      .

44.（2000两省一市理，13）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，其中次品数以ξ的概率分布是

45.（1999全国，16）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_____种（用数字作答）.

46.（1999上海理，3）在（x³+）⁵展开式中，x⁵项的系数为      .

47.（1999上海理，11）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆x²+y²=16内的概率是      .

48.（1998全国理，17）（x+2）¹⁰（x²－1）的展开式中x¹⁰的系数为_____（用数字作答）.

49.（1998上海，9）设n是一个自然数，（1＋）ⁿ的展开式中x³的系数为，则n=_____.

50.（1997全国，16）已知（）⁹的展开式中x³的系数为，常数a的值为_____.

51.（1997上海，11）若（3x+1）ⁿ（n∈N^*）的展开式中各项系数的和是256，则展开式中x²的系数是_____.

52.（1997上海，16）从集合｛0、1、2、3、5、7、11｝中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得经过坐标原点的直线有_____条（结果用数值表示）.

53.（1996全国，17）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_____个（用数字作答）.

54.（1996上海，17）有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有_____种（结果用数字表示）.

55.（1996上海理，14）在（1+x）⁶（1－x）⁴的展开式中，x³的系数是_____（结果用数值表示）.

56.（1995上海，13）若（x+1）ⁿ＝xⁿ＋…＋ax³＋bx²＋…＋1（n∈N^*），且a∶b＝3∶1，那么n=_____.

57.（1995上海，19）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的选取法有_____种.（结果用数值表示）.

58.（1995全国，20）四个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_____种.（用数字作答）

59.（1994全国，16）在（3－x）⁷的展开式中，x⁵的系数是_____（用数字作答）.

60.（2002天津文20，理19）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）.

（Ⅰ）求至少3人同时上网的概率；

（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？

61.（2001江西、山西、天津）如图10―1，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N₁，N₂.当元件A、B、C都正常工作时，系统N₁正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N₂正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0．80、0．90、0．90.分别求系统N₁、N₂正常工作的概率P₁、P₂.

62.（2001上海理）对任意一个非零复数z，m_z={ω|ω=z^2n－1，n∈N}

（1）设α是方程x+的一个根，试用列举法表示集合M_α.若在M_α中任取两个数，求其和为零的概率P.

（2）设复数ω∈M_z，求证：M_ωM_z.

63.（2001全国理，20）已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n.

（1）证明nⁱ＜mⁱ；

（2）证明（1＋m）ⁿ＞（1＋n）^m.

64.（2000江西、山西、天津理，17）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题.

（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？

（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

65.（2000上海，22）规定，其中x∈R，m是正整数，且=1，这是组合数（n、m是正整数，且m≤n的一种推广）.

（1）（文）求的值；

（理）求的值；

（2）（文）设x＞0，当x为何值时，取最小值？

（理，文2）组合数的两个性质：

①.  ②.

是否都能推广到（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由.

（3）（理）已知组合数是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，∈Z.

66.（1996全国文24，理23）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?

●答案解析

1.答案：A

解析：这是一个插空问题，应分两类：第一类，新增的两个节目连在一起；第二类，两个新增节目不连在一起，而原来的5个节目可看做分出6个空位.第一类则有2×种不同的插法，第二类则有种不同的插法.应用分类计数原理，共有12+30=42种不同的插法.

评述：该题是应用问题，内容贴近学生，有一定的综合性、灵活性、考查分析，解决问题及逻辑思维的能力.同时应有周密的思维习惯.

2.答案：D

解析：见第1题.

3.答案：B

解析：因为甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作.因此，翻译工作从余下的四名志愿者选一人有种，再从余下的5人中选3人从事导游、导购、保洁有种.因此=240.

4.答案：B

解析：=360.

5.答案：D

解析：二项式（+x³）ⁿ展开式的通项为T_r+1=()^n－r(x³)^r=x^r－n?x^3r=x^4r－n

当展开式中有常数项时，有4－n=0，即存在n、r使方程有解.

当展开式中有x的一次项时，有4r－n=1，即存在n、r使方程有解.

即分别存在n，使展开式有常数项和一次项.

6.答案：C

解析：二项式（+x²）⁶展开式的通项为：

T_r+1=

∴当T_r+1为x³项时，r=3，∴T_r+1=?x³=20?x³

当T_r+1为常数项时，r=2，∴T_r+1==15

7.答案：B

解析：联想以空间模型，注意到“有2个面不相邻”，既可从相对平行的平面入手正面构造，即?；也可从反面入手剔除8个角上3个相邻平面，即：.

8.答案：B

解析：先把5本书中的两本捆起来（），再分成四份（），∴分法种数为?=240（种）.

9.答案：A

解析：先分配4个人到第一个路口，再分配4个人到第二个路口，最后分配4个人到第三个路口，即：??.

10.答案：D

解析：原式＝

∴

11.答案：A

       解析：设该队胜x场，平y场，则负（15－x－y）场，由题意得3x+y=33，

∴y=33－3x≥0

∴x≤11，且x+y≤15，（x，y∈N）

因此，有以下三种情况：

评述：本题利用不定方程及穷举法解决排列、组合问题.

12.答案：B

解析：＝480．

13.答案：A

14．答案：C 

解法一：由题意知，按买磁盘盒数多少可分三类：买4盒磁盘时，只有1种；

买3盒磁盘时，有买3片或4片软件两种；买2盒磁盘时，可买3片、4片、5片或6片软件，有4种，故共有1＋2＋4＝7种不同的选购方式，答案为C.

解法二：先买软件3片，磁盘2盒，共需320元，还有180元可用，按不再买磁盘、再买1盒磁盘、再买两盒磁盘三类，仿解法一可知选C.

评述：本题主要考查分类计数原理、分类讨论思想.背景简单，但无现成模式可用，对分析解决问题的能力有较高要求.

15.答案：D

解析：设计让3所学校依次挑选，先由学校甲挑选，有种，再由学校乙挑选，有种，余下的到学校丙只有一种，于是不同的方法数共有??＝540种，答案为D.

评述：设计一个程序是解答排列组合应用题的常见解法.

16.答案：D

解法一：10个点任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任意4点都共面，从这6点中任取4点有种，同理在其余3个面内也有种，又每条棱与相对棱中点共面有6种，各棱中点中4点共面的有3种，故10个点中取4点，不共面的取法共有＝141种.

解法二：四面体记之为A―BCD，设平面BCD为α，那么从10个点中取4个不共面的点的情况共有四类：（1）恰有3个点在α上，有4（）＝68种取法；（2）恰有2个点在α上，可分两种情况：该2个点在四面体的同一条棱上时有3＝27种，该2个点不在同一条棱上，有（）?（－1）＝30种；（3）恰有1个点在α上，可分两种情况，该点是棱的中点时有3×3＝9种，该点是棱的端点时有3×2＝6种；（4）4个点全不在α上，只有1种取法.根据分类计数原理得，不同的取法共有68＋27＋30＋9＋6＋1＝141种．

评述：本题对空间想象能力要求较高，对观察能力和思维能力要求也高.在应用背景及其限制条件下合理分类是解题的关键.

17.答案：B

解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点共面，点A所在的每个面中含A的4点组合有个，点A在3个面内，共有3个组合，点A在6条棱的三条棱上，每条棱上有3个点，这3点与对棱的中点共面，所以与点A共面的四点组合共有3+3=33（个）

评述：本题考查组合的知识和空间想象能力.对考生的观察能力和思维能力有较高要求，考生失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算入内.

18.答案：C

解析：把甲、乙两人看作1个人，这样6个人看作5个人，5个人的全排列有种，甲、乙两个人还有顺序问题，所以排法总数为?=240（种）

评述：这是一道有限制条件的排列题，考查排列的概念和排列数公式.“相邻问题”是一个常见的典型问题.

19.答案：A

解法一：其中2在个位的三位数有个，4在个位的三位数有个，故没有重复数字的三位偶数共有2＝24个，故选A.

解法二：先排个位有种，再排十位、百位有种，于是合乎要求的三位偶数共有＝24个.故选A.

评述：本题为有特殊要求的排列问题，考查排列基础知识和逻辑推理能力.

20.答案：D

解析：∵原式=（1+x）¹⁰－x³（1+x）¹⁰.

∴欲求原展开式中x⁵的系数，只需求出（1+x）¹⁰展开式中x⁵和x²的系数.

而（1+x）¹⁰=1+…+x²+…+x⁵+….故（1－x³）（1+x）¹⁰展开式中，x⁵的系数为－=207.

21.答案：C

解法一：从10人中选派4人有种，进而对选出的4人具体分派任务，有种，由分步计数原理得不同的选派方法为＝2520种，答案为C.

解法二：据分步计数原理，不同选法种数为??＝2520种.

评述：本题主要考查组合和分步计数原理，答数较大，对组合数的计算要求较高.方法一用的是先选后派方法是处理排列组合应用题的基本方法.

22.答案：D

解析：先各看成整体，但水彩画不在两端，则为，然后水彩画与国画各全排列，所以共有．

23.答案：16

解析：分两组比赛，每组有场，每组的第一名与另一组的第二名比赛有2场，三、四名比赛，冠亚军比赛，共有2+2+2=16（场）

24.答案：

解析：有效分应该是由没有受贿裁判的评分，因此，7名裁判应从12人中选，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是.

25.答案：

解析：因为后排每人均比前排人高，因此应将6人中最高的3个人放在后排，其余3人站前排.故所有排法有?=36种.故后排每人均比前排同学高的概率为

26.答案：18

解析：∵为常数项.

∴=0，即n=18.

27.答案：1008

解析：系数为：（－2）⁶+（－2）⁴=1008.

28.答案：11

解析：要完成某项工序，必须先完成它的紧前工序且在紧前工序完成的条件下，若干件工序可同时进行，因而工程总时数为：3+2+5+1=11（天）.

29.答案：甲

解析：根据题意，需要比较和

由于=0.158，=0.552  因此甲产量比较稳定.

30.答案：7

解析：在5种不同的荤菜中取出2种的选择方式应有＝10（种）

选择方式至少为200种，设素菜为x种，∴≥200

≥20，x（x－1）≥40，x≥7

∴至少应为7种素菜.

31.答案：2n（n－1）

解析：先在圆上找一点，2n个点因为是等分点，所以过圆心的直径应有n，减去过这点的直径，剩下的直径n－1个都可以与这个点形成直角三角形，∴一个点可以形成n－1个直角三角形，这样的点有2n个.

∴一共为2n（n－1）.

32.答案：15

解析：.

33.答案：15

解析：

34.答案：

解析：所选3球中至少有一个红球的选法有??=16（种）

从6个球中任选3个球的选法有=20（种）.

故概率p=.

评述：本题主要考查对可能事件的概率计算，以及考生分析问题解决问题的能力.古典概率是学习概率与统计的起点，而掌握古典概型的前提是能熟练地掌握排列组合的基本知识.

35.答案：4900

解析：完成这件事可分为两步：

第一步：从甲组8人中抽取4个，有种方法；

第二步：从乙组8人中抽取4人，有种方法.

因此，比赛人员的组成共有?=4900种可能.

评述：本题考查分步计数原理、组合的概念以及组合数的运算，考查分析问题、解决问题的能力.

36.答案：1.2

解析：设其中含红球个数为x，则x=1或 x=2.

而含一个红球的概率A₁=

含两个红球的概率为A₂=

∴含红球个数的数学期望为1×+2×=1.2

评述：本题考查数学期望的概念、概率的概念及它们的计算.

37.答案：A₃

解析：A₁的数学期望：=0.25×50+0.30×65+0.45×26=43.7

A₂的数学期望：=0.25×70+0.30×26+0.45×16=32.5

A₃的数学期望：=0.25×（－20）+0.30×52+0.45×78=45.7

A₄的数学期望：=0.25×98+0.30×82+0.45×（－10）=44.6

评述：本题考查概率与数学期望，考查学生识表的能力.对图表的识别能力，是近年高考突出考查的热点.图表语言与其数学语言的相互转换，应成为数学学习的一个重点，应引起高度重视.

38.答案：

解析：∵，∴x＝.

39.答案：5

解析：由＝48，得＝24，∵＝24，∴n＝5.

40.答案：210

解析：T_r＋1＝，令30－5r=0，得r=6.∴常数项T₇＝?（－1）⁶＝210．

41.答案：252

解析：＝252．

42.答案：－462

解法一：因为在（x－1）¹¹的展开式中，各项的二项式系数与系数相等或互为相反数，又展开式中二项式系数最大的项有两项，分别为第六项x⁶（－1）⁵．第七项x⁵（－1）⁶，所以得系数最小的项的系数为．

解法二：展开式中第r+1项为，要使项的系数最小，则r为奇数，且使为最大，由此得r=5，所以项的最小系数为．

43.答案：

解析：从9面旗帜中任取3面，共有（种）取法.

现取3面，颜色与号码均不相同共有??=6（种）

因此，所求概率为.

44.答案：

解析：设次品数为ξ，则ξ~（2，0.05），其中p=0.05为次品率，则q=0.95为正品率，于是由二项分布公式（列成表格）：

即得所求结果.

45.答案：12

解析：先考虑A种植在左边的情况，有三类：A种植在最左边一垄上时，B有三种不同的种植方法；A种植在左边第二垄上时，B有两种不同的种植方法；A种植在左边第三垄上时，B只有一种种植方法.又B在左边种植的情况与A时的相同，故共有2×（3＋2＋1）＝12种不同的选垄方法.

评述：本题主要考查两个基本原理、分类讨论思想，对分析解决问题的能力有较高要求.

46.答案：40

解析：由通项公式T_r+1=（x³）^5－r?（）^r=?2^r?x^15－5r

由题意，令15－5r=5.得r=2.

∴含x⁵项的系数为?2²=40.

47.答案：

解析：掷两次骰子分别得到的总数m、n作为P点的坐标共有?=36（种）可能结果，其中落在圆内的点有8个：（1，1）、（2，2）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（3，1）、（2，3）、（3，2），则所求的概率为.

评述：本题考查点与圆的位置关系，概率概念等基础知识以及运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决实际问题的能力.

48.答案： 179

解析：展开式中x¹⁰的系数与（x+2）¹⁰的展开式中x¹⁰的系数和x⁸的系数有关，由多项式运算法则知所求系数为?（－1）＋?2²?1＝179.

评述：本题考查在逻辑思维能力上的要求，兼考查分类讨论的思想.

49. 答案：4

解析：T_r＋1＝，令r=3得x³的系数，解得n=4.

50.答案： 4

解析：T_r＋1＝

当，即r=8时，，解得a=4.

评述：本题考查二项式定理的基础知识，重点考查通项公式和项的系数的概念，兼考运算能力.

51.答案： 54

解析：令x=1得展开式各项系数之和4ⁿ＝256解得n=4，所以x²的系数是?3²＝54．

52.答案：30

解析：因过原点的直线常数项为0知c=0，从集合中任取两个非零元素作系数A、B有种，所以适合条件的直线有＝30条.

53.答案： 32

解析：7个点任取3点的组合数＝35，其中三点在一线上不能组成三角形的有3个，故组成三角形的个数为35－3＝32个.

评述：本题是有限制条件的组合应用题，背景采用几何图形，对逻辑思维能力要求较高.易出现不排除不构成三角形的情况的错误.

54.答案： 1440

解析：将数学书与外文书分别捆在一起与其他3本书一起排，有＝120种排法，再将3本数学书之间交换有＝6种，2本外文书之间交换有＝2种，故共有＝1440种排法.

55.答案： －8

解析：原式=（1＋x）²（1－x²）⁴＝（1＋2x＋x²）(1－x²)⁴含x³的项为2x??(－x²)＝－8x³，故x³的系数为－8.

56.答案：11

解析：，

由已知有．

57. 答案：350

解析：选法是原装取2台组装取3台，原装取3台组装取2台.故不同的选取法有＝350种.

58. 答案：144

解法一：考虑用分配的数学模型来解.

若1号盒空，2号盒放2个球，3号盒和4号盒各放一个球有＝12种放法.

若1号盒空，3号盒放2个球，4号盒和2号盒各放一个球时仍有＝12种放法.

若1号盒空，4号盒放2个球，2号盒和3号盒各放一个球同样有＝12种放法.

即1号盒空共有3×12＝36种放法.

同理2号盒空有36种放法，3号盒空有36种放法，4号盒空有36种放法.

故按题中要求恰有一个空盒的放法共有4×36＝144种放法.

解法二：先将4个球分成3组每组至少1个，分法有6种.然后再将这3组球放入4个盒子中每盒最多装一组.则恰有一个空盒的放法种数为6＝144种.

评述：本题是一道排列组合综合题，运用先分组，后排列的方法较好.

59.答案： －189

解析：，

所以r=5，x⁵的系数为3²（－1）⁵＝－189．

评述：本题考查二项式定理，重点考查通项公式，兼考计算能力.

60.解：（Ⅰ）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即

.

（Ⅱ）至少4人同时上网的概率为

至少5人同时上网的概率为：

.

因此，至少5人同时上网的概率小于0.3.

61.解：分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，由已知条件

P（A）＝0．80，P（B）＝0．90，P（C）＝0．90.

（Ⅰ）因为事件A、B、C是相互独立的，系统N₁正常工作的概率

P ₁＝P（A?B?C）＝P（A）?P（B）?P（C）＝0．80×0．90×0．90＝0．648.

故系统N₁正常工作的概率为0．648．

（Ⅱ）系统N₂正常工作的概率

.

∵P（）＝1－P（B）＝1－0．90＝0．10.

P（）＝1－P（C）＝1－0．90＝0．10.

∴P₂＝0．80×［1－0．10×0．10］＝0．80×0．99＝0．792.

故系统N₂正常工作的概率为0．792.

62.解：（1）解方程x+得x=

当α₁=时ω=α₁^2n－1=

由iⁿ的周期性知：ω有四个值.

n=1时，ω=

n=2时，ω=

n=3时，ω=

n=4时，ω=

当α₂=i时，ω=α₂^2n－1=

n=1时，ω=

n=2时，ω=

n=3时，ω=

n=4时，ω=

∴不管α=还是α=

M_α={ }

P=

（2）∵ω∈M_z，则ω=z^2m－1，m∈N

任取x∈M_ω，则x=ω^2n－1，n∈N

而ω=z^2m－1  ∴x=（z^2m－1）^2n－1=z^{(2m－1)(2n－1)}

∵（2m－1）（2n－1）为正奇数

∴x∈M_z  ∴M_ωM_z

评述：复数的运算是复数的基础，本题考查复数的奇数次幂，由于iⁿ的周期性，因而

α²ⁿ－1只有四个值，题目以集合的形式给出复数ω，使复数与集合有机的结合在一起，不仅考查复数还考查集合的表示方法.而证明一个集合是另一个集合的子集在对集合的考查上又高了一个层次.证明尽管不繁，但思维层次较高.

63.证明：（1）方法一：

对于m＜n，∴k＝1，2，…，i－1有

∴即mⁱ＞nⁱ

方法二：nⁱ=?m?（m－1）?（m－2）?…?（m－i+1）

=mn?（mn－n）?（mn－2n）?…?［mn－n（i－1）］                    ①

同理mⁱ=mn?（mn－m）?（mn－2m）?…?［mn－m（i－1）］       ②

∵1＜i≤m＜n，

∴mn－n＜mn－m，mn－2n＜mn－2m，…，

mn－n（i－1）＜mn－m（i－1）                                                ③

∴联系①、②、③可得nⁱ＜mⁱAⁱ_n.

（2）由二项式定理：

又∵

而mⁱ＞nⁱ

∴

……

又∵

∴（1＋m）ⁿ＞（1＋n）^m

评述：此题体现了命题指导思想上有加强离散数学分量的趋势.

64.解：（1）甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙从判断题中抽到一题的可能结果有个，故甲抽到选择题、乙抽到判断题的可能结果有?个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有个，所以甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率为：.

（2）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为：.

故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为：1－

或用以下解法：

.

评述：本题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力.

65.（1）（文）解：.

（理）解：.

（2）（文）解：.

∵x＞0，x+≥2.

当且仅当x=时，等号成立.

∴当x=时，取得最小值.

（理，文3）解：性质①不能推广.例如当x=时，有定义，但无意义；性质②能推广，它的推广形式是，x∈R，m是正整数，事实上

当m=1时，有，

当m≥2时，

.

（3）（理）证明：当x≥m时，组合数∈Z.

当0≤x＜m时，=0∈Z.

当x＜0时，∵－x+m－1＞0，

∴

∈Z.

66.解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现在人口为P人，粮食单产为M吨／公顷.

依题意得不等式（1＋10％）

化简得x≤10³［］

∵

∴x≤4（公顷）

答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.

●命题趋向与应试策略

1.本章内容在高考中所占比重不大，但试题都具有一定的灵活性、机敏性和综合性.在“倡导创新体系，提倡素质教育”的今天，本章的考题是最好的体现.一般有1～2道小题，且多为选择、填空题，应注意二项式定理在近似计算中的应用.

2.高考对排列、组合内容的考查，一般以实际应用题形式出现，这是因为排列、组合的应用性概念强，并充满思辨性和解法多样性，符合高考选择题的特点，易于考查学生的能力，此类题大致可分两类.

（1）有附加条件的排列问题，此类题多数只有一个附加条件，且以学生熟悉的数学问题或排队问题为主.

（2）有附加条件的组合问题.此类题常以“至少取n个”或以几何为背景的分类组合问题为主.

3.高考对二项式定理的考查，以二项式展开式及其通项公式内容为主，要有目标意识和构造意识，要注意展开式的通项公式正、反两方面的应用.此类题也可分两类.

（1）直接运用通项公式求特定项的系数或与系数有关的问题.

（2）需用转化思想化归为二项问题来处理的问题.

4.高考对统计、概率内容的考查，往往以实际应用题出现.这既是这类问题的特点，也符合高考发展方向，考生要以课本概念和方法为主，以熟练技能，巩固概念为目标，查找知识缺漏，总结解题规律.

5.本章试题的特点是：

（1）综合性强.如排列、组合题大多能与集合、数列、立体几何等内容组合构成小型综合题，使每题涉及的知识点在两个以上.

（2）应用性强，如统计问题及概率问题，都是以实际问题为背景.

（3）对运用数学思想的要求高，如解排列、组合问题时，需分类讨论、分步讨论.以几何为背景的排列、组合题需用数形结合的思想，在解非二项问题时，需用转化思想化归为二项问题求解等，这种命题特点在以后的高考中仍会保持下去.

6.根据高考试题的现状和发展趋势看，考生应：

（1）立足基础知识和基本方法的复习.恰当选取典型例题，构建思维模式，造就思维依托和思维的合理定势，如对排列应用题可用①某元素排在某位上；②某元素不排在某位上；③某几个元素排在一起；④某几个元素不得相邻；⑤某几个元素顺序一定等基本问题，加强思维的规范训练.

（2）抓好破势训练，为提高能力，运用变式题目，常规题向典型问题的转化，进行多种解法训练，从不同角度，不同侧面对题目进行全面分析，结合典型的错解分析，查找思维的缺陷，提高分析解决问题的能力.

（3）抓好“操作”训练，就是面对问题，具体排一排、选一选，运用分类计数原理和分步计数原理为“完成这件事”设计合理的程序或分类标准，注意加强解题过程的展示与分析.

（4）加强数学思想方法的训练.数学思想方法是高考的重要内容.分类讨论、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想在本章试题中经常考查，如把（a＋b＋c）ⁿ常化为［（a＋b）＋c］ⁿ来处理，需要平时经常归纳总结.

另外，在复习中要控制好训练题的难度.不做难题、偏题、怪题，一般两个以上附加条件的应用题可不考虑，文科复习在题型上应与理科相同，但题中数量关系可简单些，以降低题目的难度.

（5）重点掌握随机事件、等可能事件，互斥事件、独立事件、独立重复试验中恰好发生n次等五种事件的概率，会用样本频率分布估计总体分布，会用样本平均数估计总体期望值，会用样本的方差估计总体方差.