江西省白鹭洲中学08-09学年高二下学期第一次月考
数 学 试 卷
命题人：王洪平 审题人：郭仕华
一、选择题（60分）
1.如图7-20，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（ ）
2. 下列等式中，使点M与点A、B、C一定共面的是( )
A. 
B.
C.
D. 
3..a、b是异面直线，以下面四个命题，正确命题的个数是（ ）
①过a有且只有有一个平面平行于b ②过a至少有一个平面垂直于b
③至多有一条直线与a、b都垂直 ④至少有一个平面分别与a、b都平行
A.0 B
4.已知a=(3，－2，－3)，b=（－1，x－1，1），且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是（ ）
A．（－2，+∞） B．（－2，
）∪（，+∞）
C．（－∞，-2） D．（，+∞）
5.对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：（1）与a是异面直线；（2）与a所成的角为定值θ；（3）与a的距离为定值d。那么，这样的直线b有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条
6. 如图7-22，点P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥平面ABCD，
PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
7.如图7-23， P 是正方形ABCD外一点，PD垂直于ABCD，则这个五
面体的五个面中，互相垂直的平面共有（ ）
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
8.过正方形ABCD的顶点A作线段A′A⊥平面ABCD。若A′A=AB，则平面A′AB与平面A′CD所成角的度数是（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
9.设有不同的直线a、b和不同的平面α、β、γ，给出下列三个命题：
①若a∥α,b∥α,则a∥b。 ②若a∥α,a∥β，则α∥β。 ③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β。
其中正确的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
10.△ABC的三个顶点分别是
，
，
，则AC边上的高BD长为（
）
A. 
B. 5
C.4
D.
11.已知相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内，若命题p：l、m中至少有一条与β相交；命题q: α与β相交，则p是q的（ ）
A. 不充分也不必要条件 B充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D. 充分必要条件
12..已知二面角α-l-
为直二面角，A是α内一定点，过A作直线AB交于B，若直线AB与二面角α-l-的两个半平面
所成的角分别为30°和60°，则这样的直线最多有（ ）
A．1条 B。2条 C。3条 D。4条
二、填空题（16分）
13.将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，异面直线AB与CD所成角的大小是 。
14.在平面α内有一个正三角形ABC，以BC边为轴把△ABC旋转θ角，θ∈（0，
），得到△A′BC，当θ= 时，△A′BC在平面α内的射影是直角三角形。
1５．如图，一个立方体的六个面上分别标有字母A、B、C、
D、E、F，右图是此立方体的两种不同放置，
则与D面相对的面上的字母是 。
16.如图7-25，P是四边形ABCD所在平面外一点，O是AC与BD的交点，且PO⊥平面ABCD。当四边形ABCD满足下列条件 时，点P到四边形四条边的距离相等。①正方形；②圆的外切四边形；③菱形；④矩形。
白鹭洲中学高二下学期第一次月考数学答题卷
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
二、填空题（4分
4=16分）
13___________． 14．____________；15.____________; 16_______________．
三、解答题（共74分）
17. （12分）已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．
（1）求证：EF⊥平面GMC．
（2）若AB＝4，GC＝2，求点B到平面EFG的距离
18. （12分）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，P为四边形ABCD外一点，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．
（1）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；
（2）求证CE∥平面PAB．
19.（12分）如图，在五面体P―ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=60°，AB=4，AD=2， PB=
，PD=
。
（1）求证：BD⊥平面PAD；
（2）若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P―BC―A的大小。
20．（12分）如图7-31，已知矩形ABCD，AB=2AD=2a,E是CD边的中点，以AE为棱，将△DAE向上折起，将D变到D′的位置，使面D′AE与面ABCE成直二面角（图7-32）。
（1）求直线D′B与平面ABCE所成的角的正切值；
（2）求证：AD′⊥BE； （3）求点C到平面AE D′的距离。
、
21．（12分）如图7-13，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M，N分别是AB，PC的中点。
（1）求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小；
（2）求证：MN⊥平面PCD；
（3）当AB的长度变化时，求异面直线PC与AD所成角的可能范围。
22.（14分）如图，已知P为菱形
外一点，
平面，
，
分别是
的中点．
（1）证明：
；
（2）若
为
上的动点，
与平面
所成最大角的正切值为
，求二面角
的余弦值．
1.C 2.A 3.C 4.B 5.D 6.C 7.C 8.B 9.A 10.B 11.D 12.A
13. 
14.arccos
15.B 16.①②③
17.解：解：（1）连结BD交AC于O，
∵E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，AC⊥BD，
∴EF⊥AC．
∵AC∩GC＝C，………6分
∴EF⊥平面GMC．
（2）可证BD∥平面EFG，，正方形中心O到平面EFG
………12分
18． 解：（1）∵PA＝CA，F为PC的中点，
∴AF⊥PC．
………………2分
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，∴EF∥CD．则EF⊥PC． ……5分
∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 6分
（2）证法一：
取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．
∵EM 
平面PAB，PA
平面PAB，∴EM∥平面PAB． ………8分
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，
∴MC∥AB．
∵MC 平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB． …… 10分
∵EM∩MC＝M，
∴平面EMC∥平面PAB．∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．…… 12分
证法二：
延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．
∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点． ……8分
∵E为PD中点，∴EC∥PN．……10分
∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，∴EC∥平面PAB． ……… 12分
19.解 （1）由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°，
得BD2=AD2+AB2-2AD?ABcos60°
=4+16-2×2×4×
=12。∴AB2=AD2+BD2，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，即AD⊥BD。………3分
在△PDB中，PD=
，PB=
，BD=
，
∴PB2=PD2+BD2，故得PD⊥BD。
又PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD。………6分
（2）∵BD⊥平面PAD，BD
平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD。………8分
作PE⊥AD于E，又PE平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，
∴∠PDE是PD与底面BCD所成的角，∴∠PDE=60°，
∴PE=PDsin60°=?
=
。………10分
作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BC，∴∠PFE是二面角P―BC―A的平面角。
又EF=BD=，∴在Rt△PEF中，
tan∠PFE=
=
=
。
故二面角P―BC―A的大小为arctan。………12分
20.解 （1）∵D′―AE―B是直二面角，∴平面D′AE⊥平面ABCE。
作D′O⊥AE于O，连 OB，
∴D′O⊥平面ABCE。
∴∠D′BO是直线D′B与平面ABCE所成的角。
∵D′A=D′E=a，且D′O⊥AE于O，∠AD′E=90°
∴O是AE的中点，
AO=OE=D′O=
a, ∠D′AE=∠BAO=45°。………2分
∴在△OAB中，OB=
=
=
a。
∴在直角△D′OB中，tan∠D′BO=
=
。………4分
（2）连结BE∵∠AED=∠BEC=45°，∴∠BEA=90°，即BE⊥AE于E。
∵D′O⊥平面ABCE，∴D′O⊥BE，………6分
∴BE⊥平面AD′E，∴BE⊥AD′。………8分
(3)C点到平面AE D′的距离是B到平面AE D′的一半即BE=a………12分
21．解 （1）PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD。
故∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角。
在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°。………3分
（2）如图7-14，取PD中点E，连结AE，EN，又M，N分别是AB，PC的中点，
∴EN∥CD∥AB
∴AMNE是平行四边形 ∴MN∥AE。
在等腰Rt△PAD中，AE是斜边的中线。 ∴AE⊥PD。
又CD⊥AD，CD⊥PD ∴CD⊥平面PAD， ∴CD⊥AE，
又PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD。 ∴MN⊥平面PCD。………7分
（3）∵AD∥BC，∴∠PCB为异面直线PC，AD所成的角。
由三垂线定理知PB⊥BC，设AB=x(x>0)。∴tan∠PCB=
=
。
又∵
∈（0，∞），∴tan∠PCB∈（1，+∞）。
又∠PCB为锐角，∴∠PCB∈（
，
），
即异面直线PC，AD所成的角的范围为（，）。………12分
22.（1）证明：由四边形
为菱形，
，可得
为正三角形．
因为
为
的中点，所以
．
又
，因此
．
因为
平面，
平面，所以
．
而
平面
，
平面且
，
所以
平面．又
平面，
所以
．………6分
（2）解：设
，
为
上任意一点，连接
．
由（1）知平面，
则
为
与平面所成的角．
在
中，
，
所以当
最短时，最大，
即当
时，最大．
此时
，
因此
．又
，所以
，
所以
．因为平面，平面
，
所以平面
平面．
过作
于
，则
平面，
过作
于
，连接
，则
为二面角
的平面角，
在
中，
，
，
又
是
的中点，在
中，
，
又
，在
中，
，
即所求二面角的余弦值为
．………14分
本题也可以用向量法解：以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。
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