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2009年重庆一中高2009级5月月考
数 学(文科)试 题 卷 2009.5
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 如果
，那么正确的结论是（ ）
A．
B．
C．{0}
D．
2．
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知平面向量
，则向量
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设映射
是实数集
到实数集
的映射，若对于实数
，
在中不存在原象，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5．在数列
中，若
，且
，则
（ ）
A．2007 B．
6．要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层随机抽样，则组成此课外兴趣小组的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
(
是自然对数的底数)的反函数为
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
8．半径为1的球面上有三点A、B、C，其中A与B、C两点间的球面距离均为
，B、C两点间的球面距离为
，则球心到平面ABC的距离为（ ）
A.
B.
C.
D.
9．已知函数
在区间
上是增函数,则实数
的取值范围是( )
(A)(
,4) (B)(-4,4] (C)( ,-4)∪[2,
) (D)[-4,2)
10．已知
，若方程
的两个实数根可以
分别作为一个椭圆和双曲线的离心率，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．
的常数项是
（用数字作答）．
12．在
中，
，
，
所对的边分别是，
，
，已知
，则
．
13．已知实数
满足条件
，则
的最大值为
；
14．以椭圆两焦点为直径的端点的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率等于 ；
15．已知函数
为偶函数，且满足不等式
，则的值为
．
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(本题满分13分) 已知函数
．
（Ⅰ）求函数
的周期和最大值；
（Ⅱ）已知
，求
的值．
17．(本题满分13分)
(Ⅰ)求乙、丙两人各自回答对这道题的概率．
(Ⅱ)求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率．
18．(本题满分13分)如图，已知正三棱柱
的各棱长都为
，为棱
上
的动点．
(Ⅰ)当
时，求证：
；
(Ⅱ) 若
，求二面角
的大小．
19．(本题满分12分)已知函数
，函数
的图像在点
的切线方程是
．
(Ⅰ)求函数
的解析式；
(Ⅱ)若函数在区间
上是单调函数，求实数
的取值范围．
20．(本题满分12分)过
轴上动点
引抛物线
的两条切线
、
，、
为切点．
(Ⅰ)若切线，的斜率分别为
和
，求证：
为定值，并求出定值；
(Ⅱ) 求证：直线
恒过定点，并求出定点坐标；
(Ⅲ)当
最小时，求
的值．
21．(本题满分12分)已知数列中，
，
，其前
项和
满足
，令
.
(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)令
，求证：
①对于任意正整数，都有
． ②对于任意的
，均存在
，使得
时，
．
2009年重庆一中高2009级5月月考
数学(文科)试题卷答案 2009.5
一、CDDBC;ACBBA.
三．解答题：
16. 解：解：（Ⅰ）
＝
．∴周期为
， 最大值为6 ；
（Ⅱ）由
，得
．
∴
． ∴
，
， ∴
．
17.解：记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件、
、
，则
，且有
，即
∴
（2）由（1）
,
.
则甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率为：
18. 解（1）当
时，取
的中点
，连接
，因为为正三角形，则
，由于为
的中点时，
∵
平面
,∴
平面,
∴
.
（2）当
时，过作
于
,如图所示，则
底面
,过作
于
,连结
，则
,
为二面角的平面角，又
,
又
，
,
二面角的大小为
.
19. 解：(Ⅰ)
，在点
处的切线
即
，故与表示同一条直线，
，
即
，
，
.
(Ⅱ) 由于
，
则
或
，所以函数的单调区间是
故
或
或
或
或
，
或
或，
.
20. 解：（Ⅰ）设过
与抛物线
的相切的直线的斜率是，则该切线的方程为：
，由
得
，
是方程
的解，故
（Ⅱ）设
由于
，故切线的方程是：
，又由于点在上，则
则
，
，同理
则直线
的方程是
，则直线过定点
.
（Ⅲ）要使最小，就是使得到直线的距离最小，
而到直线的距离
，当且仅当
即
时取等号.
设
由
得
，则
.
21. 解：(Ⅰ)由题意知
即
检验知
时，结论也成立故
.
①
由于
②若，其中，则有
，则
，
故
，
取
（其中
表示不超过的最大整数），则当时，. 即
到平面
的距离为
.