绝密★启用前
2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（理工农医类）
YCY
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选择出符合题目要求的一项.
2．“”是“直线相互垂直”的 （ ）
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为 （ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．从原点向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（ ）
A．π B．2π C．4π D．6π
5．对任意的锐角，下列不等关系中正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
6．在正四面体P―ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是 （ ）
A．BC//平面PDF B．DF⊥PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
7．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 （ ）
A． B． C． D．
8．函数 （ ）
A．在上递减
B．在上递减
C．在上递减
D．在上递减
第Ⅱ卷（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.
9．若为纯虚数，则实数a的值为 .
10．已知的值为 ，的值为 .
11．的展开式中的常数项是 . （用数字作答）
12．过原点作曲线的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 .
13．对于函数定义域中任意的，有如下结论：
①； ②；
③ ④
当时，上述结论中正确结论的序号是 .
14．已知n次式项式.
如果在一种算法中，计算的值需要k－1次乘法，计算P3（x0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10（x0）的值共需要
次运算.
下面给出一种减少运算次数的算法：P0（x）=a0，Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1（k=0，1，2，…，n－1）.利用该算法，计算P3（x0）的值共需要6次运算，计算P10（x0）的值共需要
次运算.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题共13分）
已知函数
（Ⅰ）求的单调减区间；
（Ⅱ）若在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
16．（本小题共14分）
如图，在直四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=，
AC⊥BD，垂足为E.
（Ⅰ）求证BD⊥A1C；
（Ⅱ）求二面角A1―BD―C1的大小；
17．（本小题共13分）
甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为
（Ⅰ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；
（Ⅱ）求乙至多击中目标2次的概率；
（Ⅲ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.
18．（本小题共14分）
如图，直线l1：与直线l2：之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2.
（Ⅰ）分别用不等式组表示W1和W2；
（Ⅱ）若区域W中的动点P（x，y）到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；
（Ⅲ）设不过原点O的直线l与（Ⅱ）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别
交于M3，M4两点. 求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合.
19．（本小题共12分）
设数列
记
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）求
20．（本小题共14分）
设是定义在[0，1]上的函数，若存在上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称为[0，1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.
对任意的[0，1]上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度的方法.
（Ⅰ）证明：对任意的为含峰区间；
若为含峰区间；
（Ⅱ）对给定的r（0<r<0.5），证明：存在，使得由（Ⅰ）所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r；
（Ⅲ）选取，由（Ⅰ）可确定含峰区间为（0，）或（，1），在所得的含峰区间内选取类似地可确定一个新的含峰区间，在第一次确定的含峰区间为（0，）的情况下，试确定的值，满足两两之差的绝地值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.
（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1―5：CBCBD 6―10：DCAA
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9． 10． 11．15 12．（1，e） e 13．②③ 14．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（共13分）
解：（I） 令，解得
所以函数的单调递减区间为
（II）因为
所以
因为在（－1，3）上，所以在[－1，2]上单调递增，又由于在
[－2，－1]上单调递减，因此和分别是在区间[－2，2]上的最大值和
最小值.
于是有，解得
故 因此
即函数在区间[－2，2]上的最小值为－7.
解法一：
（Ⅰ）在直四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，
∵A1A⊥底面ABCD，
∴AC是A1C在平面ABCD上的射影，
∵BD⊥AC， ∴BD⊥A1C.
（Ⅱ）连结A1E，C1E，A1C1.
与（Ⅰ）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴∠A1EC1二面角A1―BD―C1的平面角.
∵AD⊥DC， ∴∠A1D1C1=∠ADC=90°，
又A1D1=AD=2，D1C1=DC=2， AA1=，且AC⊥BD，
∴A1C1=4，AE=1，EC=3， ∴A1E=2，C1E=2，
在△A1EC1中，A1C12=A1E2+C1E2， ∴∠A1EC1=90°，
即二面角A1―BD―C1的大小为90°.
（Ⅲ）过B作BF//AD交AC于F，连结FC1，
则∠C1BF就是AD与BC1所成的角.
∵AB=AD=2，BD⊥AC，AE=1， ∴BF=2，EF=1，FC=2，BC=DC，
∴FC1=. 在△BFC1中，
∴
即异面直线AD与BC1所成角的大小为.
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.
与（Ⅰ）同理可证，BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴∠A1EC1为二面角A1―BD―C1的平面角.
（Ⅲ）如图，由D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，，，），B（3，，0）
∴异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos.
解法三：
（II）如图，建立空间直角坐标系，坐标原点为E.
连结A1E，C1E，A1C1.
与（I）同理可证，BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴∠A1EC1为二面角A1―BD―C1的平面角.
由E（0，0，0），A1（0，－1，
.
（Ⅲ）如图，由A（0，－1，0），D（，0，0），B（，0，0），C1（0，3，）.
得.
∵
∴
∴异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos.
17．（共13分）
解：（Ⅰ）
ξ的概率分布如下表：
ξ
0
1
2
3
P
Eξ=0?+1?+2?+3?=1.5 （或Eξ=3?）
（Ⅱ）乙至多击中目标2次的概率为
（Ⅲ）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B2，则A=B1+B2，B1、B2为互斥事件.
P（A）=P（B1）+P（B2）=
所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为
18．（共14分）
解：（I）
（II）直线由题意得
（III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为. 由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为，即它们的重心重合.
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为
由
由直线l与曲线C有两个不同交点，可知
于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合.
19．（共12分）
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）因为
所以
猜想：是公比为的等比数列.
证明如下： 因为
所以是首项为的等比数列.
（Ⅲ）
20．（共14分）
（Ⅰ）证明：设的峰点，则由单峰函数定义可知，上单调递增，
在上单调递减.
当，
这与是含峰区间.
当
这与是含峰区间.
（II）证明：由（I）的结论可知：
当f(x1)≥f(x2)时，含峰区间的长度为l1=x2；
当f(x1)≤f(x2)时，含峰区间的长度为l2=1－x1；
对于上述两种情况，由题意得
① 由①得1+x2－x1≤1+2r，即x2－x1≤2r.
又因为x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r，所以 x2－x1=2r. ②
将②代入①得 x1≤0.5－r, x2≥0.5+r. ③
由①和③解得x1=0.5－r, x2=0.5+r.
所以这时含峰区间的长度l1=l2=0.5+r，即存在x1 , x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r.
（Ⅲ）解：对先选择的x1, x2, x1 <x2， 由（II）可知 x1+x2=1， ④
在第一次确定的含峰区间为（0，x2）的情况下，x3的取值应满足 x3+x1=x2 , ⑤
由④与⑤可得 当x1>x3时，含峰区间的长度为x1.
由条件x1－x3≥0.02, 得x1－(1－2x1) ≥0.02, 从而x1≥0.34.
因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取
x1=0.34, x2=0.66, x3=0.32.