抚州一中2009届高三第四次模拟考试
数学试卷（文）
命题人 ：高三数学组 考试时间 ：2009.5
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合
，则
等于 （ ）
2．若曲线
的一条切线
的斜率为
，则切线的方程是 （ ）
3．已知三条不重合的直线
，两个不重合的平面
，有下列命题
①
，
； ②
，
，
；
③
；
④
，
，
，
.
其中正确的命题个数是 （ ）
4．从圆
外一点
向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）
5．若关于
的不等式
＋4的解集是
，则对任意实常数
，总有（ ）
6．已知
，且
，其中
，则
的值有可能是（ ）
或
或
或
7．设
为
所在平面内一点，且
，则
的面积与 的面积之比为 （ ）
8．二项式
展开式中，所有有理项（不含
的项）的系数之和为 （ ）
9．
五人争夺某项比赛的前三名，组织者对前三名发给不同的奖品，若
获奖，
不是第一名，则不同的发奖方式共有 （ ）
72种 30种 24种 14种
10．数列
满足：
，
，
若
对于任意
都成立，则正整数
的最小值为( )www.1010jiajiao.com
11．在直角坐标系
中，过双曲线
的左焦点
作圆
的一条切线（切点为
）交双曲线右支于点，若为
的中点。则
等于（ ）
12．若实数
满足
，则 （ ）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13．将函数
按向量
平移后得到的函数表达式是
；
14．已知点A，B，C，D在同一球面上，AB
平面
，
，若
，
，
，则B、C两点间的球面距离是 ；
15．如果点
在不等式组
所表示的平面区域内，则
的取值范围是 ；
16．已知函数
与
的图象关于直线
对称，
设
，若
在区间
上是增函数，则实数
的取值范围是
．
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本题满分12分）
已知四棱锥
的底面
是正方形，侧棱
的中点
在底面内的射影恰好是正方形的中心
，顶点
在截面
内的射影恰好是
的重心
．
（1）求直线
与底面所成角的正切值；
（2）设
，求此四棱锥过点
的截面面积．
18．（本题满分12分）
某工厂由于工作失误，未贴标签前，把3箱含“三聚氰胺”的问题牛奶与合格的3箱牛
奶混到了一起。对这6箱牛奶逐箱进行检测，到确定出3箱问题奶粉为止。
（1）求通过3次检测，就可以把3箱含“三聚氰胺”的牛奶全部筛选出来的概率；
（2）求最多通过4次检测，就可以把3箱含“三聚氰胺”的牛奶全部筛选很出来的概率。
19．（本题满分12分）
在锐角中，已知
，且
，
.
（1）求角与
的大小；
（2）
是以为圆心，
为半径的圆的直径，已知
，求
的最大值.
20．（本题满分12分）
已知函数
，
，其中
，
，设
为
的极小值点，
为
的极值点，
，并且
，将点
，
，
，
依次记为
．
（1）求的值；
（2）若四边形
为梯形且面积为，求
的值．
21．（本题满分12分）
已知椭圆
的方程为
，双曲线
的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线
与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且与的两个交点A和B满足
(其中为原点)，求k的取值范围．
22．（本题满分14分）
数列
的通项是关于
的不等式
的解集中整数的个数，
．
（1）求数列的通项公式；
(2) 若
，求
的和
；
(3) 求证：对
且
恒有
．
抚州一中2009届高三第四次模拟考试
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
D
D
C
A
A
B
A
C
D
二、填空题13.
；
14.
； 15.
； 16.
.
三、解答题
１7．（1）
两两相互垂直, 连结
并延长交
于F．
同理可得
------------ (6分)
（2）
是
的重心, F是SB的中点
梯形的高
--- (12分)
【注】可以用空间向量的方法
18．解：
（1）设通过3次检测，就可以把3箱含“三聚氰胺”的牛奶全部筛选出来的事件为A
1分
P（A）=
5分
所以通过3次检测，就可以把3箱含“三聚氰胺”的牛奶全部筛选出来的概率为
…6分
（2）设最多通过4次检测，就可以把3箱含“三聚氰胺”的牛奶全部筛选出来的事件为B … 7分
P（B）=
11分
所以最多通过4次检测，就可以把3箱含“三聚氰胺”的牛奶全部筛选出来的概率为
… 12分
19．（1）
.
又
.
.………6分
（2）
又
，
.从而
当
且同向时，
.………12分
20.解：(1) 
,
令
，由
得
或
.
.
.
当
时，
，当
时,
,所以
处取极小值，即
…………4分
（2）
处取得极小值，即
由
即
由四边形ABCD是梯形及BC与AD不平行，得
.有
即
由四边形ABCD的面积为1，得
即
得
，从而
得
……12分
21．（1）设双曲线C2的方程为
= 1，则a2 = 4 ? 1 = 3，再由a2 + b2
= c2得b2 = 1．故C2的方程为
= 1． （5分）
（2）将y = kx +
代入
得(1 +
4k2)x2 + 8kx + 4 = 0，由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得
(8)2k2 ? 16 (1 + 4k2)
= 16(4k2 ? 1)＞0，即k2＞
．①(7分)
将y = kx + 代入
得(1 ?
3k2)x2 ? 6kx ? 9 = 0．由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A、B得
．即k≠
且k2＜1．②（9分）
设A (xA，yA)，B (xB，yB)，则xA + xB
= 
，xA，xB = 
，由
得xA xB +
yA yB＜6，而xA xB +
yA yB = xA xB + (kxA + )
(kxb + )=
(k2 + 1) xA xB + k
(xA + xB)
+ 2 = (k2 + 1)?
，于是
＜6，即将
．解此不等式得
或
．
③ （11分）
由①、②、③得
，
故k的取值范围为
． （12分）
22．（1）
．
（２）
，
则
，
．
（３）
，
即
①
又由于
，
则
，
两式相减得
，
，
当
且
时是增函数，
的最小值是
， ②
由①②得： 
成立．