例1（05安徽省六安市）已知关
的一元二次方程
有实数根．
（1）求
的取值范围
（2）若两实数根分别为
和
，且
求的值．
分析与解答 本题目主要综合考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的应用以及代数式的恒等变形等．
例2（05北京市）已知关于的方程
有两个不相等的实数根和，并且抛物线
与
轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁．
（1） 求实数
的取值范围．
（2） 当
时，求的值．
分析与解答 本例以一元二次方程为背影，综合考查一元二次方程根的判别式、根与系数关系、分式方程的解法以及二次函数的有性质等．
例3（05重庆市） 如图2－4－18，
，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．若AD＝
，且AB、AE的长是关于的方程
的两个实数根．
（1）求⊙O的半径．（2）求CD的长．
分析与解答 本题是一道方程与几何相结合的造型题，综合考查了切割线定理、根与系数的关系、一元二次方程的解法、勾股定理知识．
例4．（2007四川绵阳）已知x1，x2 是关于x的方程（x－2）（x－m）＝（p－2）（p－m）的两个实数根．
（1）求x1，x2 的值；
（2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．
分析与解答 本题考察一元二次方程知识．
例5（07茂名市）已知函数
的图象与轴的两交点的横坐标分别是
，且
，求c及
，
的值．
分析与解答 本题考察一元二次方程韦达定理．
例6（07天津市） 已知关于x的一元二次方程
有两个实数根
，且满足
，
．
（1）试证明
；
（2）证明
；
（3）对于二次函数
，若自变量取值为
，其对应的函数值为
，则当
时，试比较与
的大小．
分析与解答 本题考察一元二次方程知识．
例7（05吉林省）
如图2－4－21，二次函数
的图象与轴交于A、B两点，其中A点坐标为（－1，0），点C（0，5）、D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求△MCB的面积．
分析与解答 第（1）问，已知抛物线上三个点的坐标，利用待定系数法可求出其解析式．第（2）问，△MCB不是一个特殊三角形，我们可利用面积分割的方法转化成特殊的面积求解．
说明：以面积为纽带，以函数图象为背景，结合常见的平面几何图形而产生的函数图象与图形面积相结合型综合题是中考命题的热点．解决这类问题的关键是把相关线段的长与恰当的点的坐标联系起来，必要时要会灵活将待求图形的面积进行分割，转化为特殊几何图形的面积求解．
例8（05湖南省娄底市）已知抛物线
与轴交于
、
，与
轴交于点C，且、满足条件
（1）求抛物线的解析式；
（2）能否找到直线
与抛物线交于P、Q两点，使轴恰好平分△CPQ的面积？求出
、
所满足的条件．
分析与解答 
本题是一道方程与函数、几何相结合的综合题，这类题主要是以函数为主线．解题时要注意运用数形结合思想，将图象信息与方程的代信息相互转化．例如：二次函数与轴有交点．可转化为一元二次旗号有实数根，并且其交点的横坐标就是相应一元二次方程的解．点在函数图象上，点的坐标就满足该函数解析式等．
例9（05桂林市） 已知：如图2－4－23，抛物线
经过原点（0，0）和A（－1，5）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线与轴的另一个交点为C．以OC为直径作⊙M，如果过抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，且与轴的正半轴交于点为E，连结MD．已知点E的坐标为（0，），求四边形EOMD的面积．（用含的代数式表示）
（3）延长DM交⊙M于点N，连结ON、OD，当点P在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得
？请求出此时点P的坐标．
例10（07上海市）如图9，在直角坐标平面内，函数
（
，
是常数）的图象经过
，
，其中
．过点
作轴垂线，垂足为
，过点
作
轴垂线，垂足为
，连结
，
，
．
（1）若
的面积为4，求点的坐标；
（2）求证：
；
（3）当
时，求直线
的函数解析式．
例11（07资阳）如图10，已知抛物线P：y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x
…
－3
－2
1
2
…
y
…
－
－4
－
0
…
（1） 求A、B、C三点的坐标；
（2） 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；
（3） 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM＝k?DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围．
若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述（2）、（3）小题换为下列问题解答(已知条件及第（1）小题与上相同，完全正确解答只能得到5分)：
（2） 若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积．
例12（07北京市）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在
中，点
分别在
上，
设
相交于点
，若
，
．
请你写出图中一个与
相等的角，并猜想图中哪个四边形
是等对边四边形；
（3）在中，如果是不等于
的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
例13（07宁波市）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD＝PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．
（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．
（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．
（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF＝∠CBE，CE＝CF．求证：点P是四边形AB CD的准等距点．
（4）试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)．
例14(07南充市) 如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线
过点A和B，与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象．
（2）点Q（8，m）在抛物线上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ＋PB的最小值．
（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．
例15(07宿迁市) 如图，圆在正方形的内部沿着正方形的四条边运动一周，并且始终保持与正方形的边相切．
（1）在图中，把圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示出来；
（2）当圆的直径等于正方形的边长一半时，该圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最大？并说明理由．
例16（05湖北省荆门市）已知关于的方程
的两根是一矩形两邻边的长．
（1）
取何值时，方程有两个实数根？
（2）当矩形的对角线长为
时，求的值．
例17（04四川省）已知关于的方程
的两个不相等的实数根中有一个根为0，是否存在实数，使关于的方程
的两个实数根、之差的绝对值为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
例18（04黑龙江省）已知方程组
有两个不相等的实数解．
（1）求有取值范围．
（2）若方程组的两个实数解为
和
是否存在实数，使
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
例19（04重庆市万州区）如图2－4－19，以△ABC的直角边AB为直径的半圆O与斜边AC交于点D，E是BC边的中点，连结DE．
（1）DE与半圆O相切吗？若不相切，请说明理由．
（2）若AD、AB的长是方程
的个根，求直角边BC的长．
例20（06浙江舟山）如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC＞1），连结BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．
（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论．
（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化，若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由．
（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC＝m，AF＝n，用含n的代数式表示m．
例21（06浙江金华）如图，平面直角坐标系中，直线AB与轴，轴分别交于A(3，0)，B(0，
)两点， ，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥轴于点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若S梯形OBCD＝
，求点C的坐标；
（3）在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的
三角形与△OBA相似.若存在，请求出所有符合条件
的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
例22（06湖南常德）如图，在直角坐标系中，以点
为圆心，以为半径的圆与轴相交于点
，与轴相交于点
．
（1）若抛物线
经过
两点，求抛物线的解析式，并判断点是否在该抛物线上．
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点
，使得
的周长最小．
（3）设
为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点
，使得四边形
是平行四边形．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
例23（06湖南常德）把两块全等的直角三角形
和
叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中
，
，
，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线
与射线相交于点，射线
与线段
相交于点．
（1）如图9，当射线经过点，即点与点重合时，易证
．此时，
____________．
（2）将三角板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为
．其中
，问
的值是否改变？说明你的理由．
（3）在（2）的条件下，设
，两块三角板重叠面积为，求与的函数关系式．
例24（07安徽省）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：
（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；
（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大．
（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝
时，这种变换满足上述两个要求；
（2）若按关系式y＝a(x－h)2＋k (a＞0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式．（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）
例25（07郴州市）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积，
表示矩形NFQC的面积．
（1） S与相等吗？请说明理由．
（2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？
（3）如图11，连结BE，当AE为何值时，
是等腰三角形．
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例26（07德州市）已知：如图14，在中，为边上一点，
，
，
．
（1）试说明：
和
都是等腰三角形；
（2）若
，求
的值；
（3）请你构造一个等腰梯形，使得该梯形连同它的两条对角线得到8个等腰三角形．（标明各角的度数）
例27（07龙岩市）如图，抛物线
经过的三个顶点，已知
轴，点在轴上，点在轴上，且．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出
三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在
是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由．
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例28（07年福建省宁德市）已知：矩形纸片
中，
厘米，
厘米，点
在上，且
厘米，点是边上一动点．按如下操作：
步骤一，折叠纸片，使点与点重合，展开纸片得折痕