2009届广东梅县东山中学数学高考压轴特级教师押题 一

特级教师：罗琪 谭天树

注意：望充分理解题意，理解命题思路

20、（本小题满分14分）

    如图，己知∆BCD中，∠BCD = 90⁰，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60⁰，E、F分别是AC、AD上的动点，且

    （1）求证：不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC：

    （2）若平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60°，求的值．

20、（1）证明：因为AB⊥平面ABCD，所以AB⊥CD，

又在△BCD中，∠BCD = 90⁰，所以，BC⊥CD，又AB∩BC＝B，

所以，CD⊥平面ABC，………………………………………………3分

又在△ACD中，E、F分别是AC、AD上的动点，且

所以，EF∥CD，总有EF⊥平面ABC：EF平面BEF，

所以，不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC…………………………6分

（2）解：作BQ∥CD，则BQ⊥平面ABC，

所以，BQ⊥BC，BQ⊥BE，

又BQ与CD、EF共面，所以，平面BEF∩平面BCD＝BQ，

所以，∠CBE为平面BEF与平面BCD所成的二面角的平面角为60°，

所以，cos60°＝，

所以，2BM＝BE　　①…………………………9分

又，所以，＝1－，

在∆ABC内作EM⊥BC交BC于M，

由＝1－，

又在∆BCD中，∠BCD = 90⁰，BC＝CD＝1，

所以，BD＝，又在Rt∆ABD中，∠AD B= 60⁰，

所以，AB＝，所以，EM＝（1－）　②

又＝，且BC＝1，所以，BM＝　③

由①②③得：4²＝6（1－）²＋²

²－4＋2＝0，＝2－或＝2＋（舍去）＝2－。。。。。。。。。。14分

故当若平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60°时，

21．（本小题满分14分）

设数列对一切正整数均有，且 ，如果，．

（1）求，的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）设数列前项之积为，试比较与的大小，并证明你的结论．

21．（1）依题意：，则，

而，又，所以，                            ………………1分

同样可求得，                                              ………………2分

（2）猜测，）                                   ………………4分

①用数学归纳法证明：显然时猜想正确，                         ………………5分

②假设时猜想成立，即，

则时，∵，∴，即，而

故,                                     ………………6分

这就是说猜想也成立,故对任意正整数都有．      ………………7分

（3）                                                        ………………9分

证明: ，

则，                ………10分

则                         

 ∴          ………11分

设,，则，

即为上的减函数，∴，故时，，   ………12分

而，∴，

∴                                               ………13分

∴，，

则，即．                                           ………14分

21．（本小题满分14分）

设数列{}的前n项和为，并且满足，（n∈N*）.

（Ⅰ）求，，；

（Ⅱ）猜想{}的通项公式，并加以证明；

（Ⅲ）设，，且，证明：≤.

21．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）分别令，2，3，得

       ∵，∴，，.………………………………………3分

   （Ⅱ）证法一：猜想：，………………………………………………………4分

              由                   ①

        可知，当≥2时，   ②

        ①-②，得  ，即.………………6分

        1）当时，，∵，∴；……………7分

        2）假设当（≥2）时，.

          那么当时，

              ，

              ∵，≥2，∴，

              ∴.

          这就是说，当时也成立，

          ∴（≥2）.  显然时，也适合.

         故对于n∈N*，均有.………………………………………9分

     证法二：猜想：，………………………………………………………4分

     1）当时，成立；…………………………………………………5分

     2）假设当时，.…………………………………………………6分

        那么当时，.

∴，

        ∴

       （以下同证法一）…………………………………………………………9分

（Ⅲ）证法一：要证≤，

     只要证≤，………………10分

     即≤，…………………11分

 将代入，得≤，

即要证≤，即≤1. …………………………12分

∵，，且，∴≤,

即≤，故≤1成立，所以原不等式成立. ………………………14分

证法二：∵，，且，

        ∴≤      ①

        当且仅当时取“”号.   …………………………………11分

∴≤      ②

        当且仅当时取“”号.   …………………………………12分

       ①+②，得

      （）≤，

当且仅当时取“”号. ……………………………………13分

∴≤.………………………………………14分

   证法三：可先证≤.   ………………………………………10分

           ∵，

           ，≥，……………………………11分

           ∴≥，

∴≥，当且仅当时取等号. ………………12分

          令，，即得

          ≤，

         当且仅当即时取等号. ………………………14分