2009届高考数学压轴题预测

专题七  应用性问题

1.       近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．

   （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；

   （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？

分析：本题命题意图是考查函数、不等式的解法等基础知识，考查运用数学知识分析解决问题的能力。

解析（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 ，，，．则2006年全球太阳电池的年生产量为    (兆瓦)．      

   （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则．解得．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到．

  点评：审清题意，理顺题目中各种量的关系是解决本题的关键。

2.       某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．（Ⅰ）求该分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该分公司一年的利润最大，并求出的最大值．

分析：本题命题意图是考查函数的解析式的求法、利用导数求最值、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．

解析：（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：   ．

（Ⅱ），令得或（不合题意，舍去）．

，．  在两侧的值由正变负．

所以（1）当即时，

．

（2）当即时，

，

所以

答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．

点评：准确进行导数运算，掌握运用导数判断函数单调性及求函数极值、最值的方法是解决此题的关键。

3.       （07安徽文理）某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a₁，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a₁，a₂，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a₁（1＋r）^a－1，第二年所交纳的储备金就变为a₂（1＋r）^a－2，……，以T_n表示到第n年末所累计的储备金总额.

（Ⅰ）写出T_n与T_n－1（n≥2）的递推关系式；

（Ⅱ）求证：T_n＝A_n＋B_n，其中｛A_n｝是一个等比数列，｛B_n｝是一个等差数列.

分析：本小题命题意图主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生的阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力，考查应用所学的知识分析和解决实际问题的能力。

解析：（1）我们有（）

（2），对反复使用上述关系式，得：

。①

在①式两边同乘以，得：

②

由②－①，得

，即  。

如果记，，则，其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，以为公差的等差数列。

    点评：掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、以及求和方法是解决此题的关键。

4.        如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A₁处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B₁处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A₁处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B₁处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？（07山东理）

分析：本题命题意图是通过实际问题考查了正弦定理、余弦定理、解三角形的能力以及分析解决问题的能力。

解析：如图，连结，，， 是等边三角形，，在中，由余弦定理得

，

，因此乙船的速度的大小为

答：乙船每小时航行海里.

点评：连接，构造两个可解的三角形与是处理此题的关键，此外，还可连接来解。

5.      某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.

   （Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结

         果为A级的概率如表一所示，分别求生产

         出的甲、乙产品为一等品的概率P_甲、P_乙；

   （Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、

         η分别表示一件甲、乙产品的利润，在

        （I）的条件下，求ξ、η的分布列及

Eξ、Eη；

   （Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额

         如表三所示.该工厂有工人40名，可用资.

项目   产品 工人（名） 资金（万元） 甲 8 8 乙 2 10   用 量          值时，最大？最大值是多少？         （解答时须给出图示）     分析：本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力 解析（Ⅰ）解： （Ⅱ）解：随机变量、的分别列是           （Ⅲ）解：由题设知目标函数为 作出可行域（如图），作直线 将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上 的点M点与原点距离最大，此时              取最大值. 解方程组       得即时，z取最大值，z的最大值为25.2 . 点评： 6.       某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为 1 2 3 4 5 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销一件该商品的利润。 （Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率； （Ⅱ）求的分布列及期望。www.xkb123.com 分析：本题命题意图是主要考察对立事件的概率以及分布列及期望的知识，考查学生的阅读理解能力及分析解决问题能力。 解析：（Ⅰ）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”， ． （Ⅱ）的可能取值为元，元，元．， ， ． 的分布列为 （元）． 点评：掌握对立事件的概率和为1，学会用间接法求解概率问题。 7.       某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，与水平地面的夹角为 , 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高） 解：如图所示，建立平面直角坐标系，则A（200，0），B（0，220），C（0，300），       直线l的方程为即        设点P的坐标为（x，y），      则    由经过两点的直线的斜率公式    由直线PC到直线PB的角的公式得， 要使tanBPC达到最大，只须达到最小，由均值不等式 当且仅当时上式取得等号，故当x=320时tanBPC最大，这时，点P的纵坐标y为 由此实际问题知，所以tanBPC最大时，∠BPC最大，故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大. 8.       如图，设曲线在点处的切线轴所围成的三角形面积为，求（1）切线的方程；2）求证 （1）解： ， 切线的斜率为 故切线的方程为，即 （2）证明：令，又令， 从而 的最大值为，即 点评：应用导数法求函数的最值，并结合函数图象，可快速获解，也充分体现了求导法 在证明不等式中的优越性。 9.       对于定义在区间上的两个函数和，如果对任意的，均有不等式成立，则称函数与在上是“友好”的，否则称“不友好”的.现在有两个函数与，给定区间. （1）若与在区间上都有意义，求的取值范围； （2）讨论函数与在区间上是否“友好”. 答案：（1）函数与在区间上有意义， 必须满足                                （2）假设存在实数，使得函数与在区间上是“友好”的， 则   即                      （*） 因为，而在的右侧， 所以函数在区间上为减函数，从而                              于是不等式（*）成立的充要条件是 因此，当时，函数与在区间上是“友好”的；当时，函数与在区间上是不“友好”的.   w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                关 闭 试题分类 高中 数学英语物理化学生物地理 初中 数学英语物理化学生物地理 小学 数学英语 其他 阅读理解答案已回答习题未回答习题题目汇总试卷汇总