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台州市2009年高三年级第一次调考试题
数 学（理科）
命题：余绍安（天台中学） 徐跃文（温岭中学）
审题：王建华（黄岩中学）
注意事项：
1． 本卷共4页，三大题，22小题，满分150分，考试时间120分钟；
2． 用蓝、黑色水笔或圆珠笔书写答案，考试结束只需将答案纸交回.
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么 棱柱的体积公式
V=Sh
如果事件A，B相互独立，那么 其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高
棱锥的体积公式
在n次独立重复试验中事件A恰好
V=
Sh
发生k次的概率是
，
其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高
其中p表示在一次试验中事件A发生的概率 棱台的体积公式
球的表面积公式 
球的体积公式 
其中S1, S2分别表示棱台的上底、下底面积，
其中R表示球的半径 h表示棱台的高
一．选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1．设全集
，集合
，
，则
的值为
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
2．下列四个数中最大的是
(A)
(B) 
(C)
(D) 
3. 现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查.
②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈.
③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是
(A) ①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样.
(B) ①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样.
(C) ①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样.
(D) ①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样.
4．已知函数
，
且函数的图象如图所示，则点
的坐标是
(A) 
(B)
(C)
(D)
5．根据右边程序框图，若输出
的值是4，
则输入的实数
的值为
(A)
(B)
(C) 或
(D) 或
6. 已知点
，椭圆
与直线
交于点
、
，则
的周长为
(A)4 (B) 
(C) 
(D) 
7．设直线
与平面
相交但不垂直，则下列说法中正确的是
(A) 在平面内有且只有一条直线与直线垂直
(B) 过直线有且只有一个平面与平面垂直
(C) 与直线垂直的直线不可能与平面平行
(D) 与直线平行的平面不可能与平面垂直
8．设
且
展开式中所有项的二项式系数的和为
,展开式中含
项的系数为
,记
，则
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
9．若
，其中
，并且
，则实数对
表示平面上不同点的个数为
(A) 32 (B) 40 (C) 50 (D) 75
10．给出定义：若
（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作
，在此基础上给出下列关于函数
的四个命题：
①函数=
的定义域为
，值域为
；
②函数=在
上是增函数；
③函数=是周期函数，最小正周期为1；
④函数=的图象关于直线
（
）对称.
其中正确命题的序号是
(A) ①③ (B) ③④ (C) ①②③ (D) ①③④
二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11．已知
=2+
，
=
，则复数
的虚部为 ▲ ．
12．已知命题
：
，命题
是命题的否定，
则命题、、
、
中真命题的是(写出所有真命题) ▲ ．
13．已知
是抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线所围成的平面区域（含边界）的任意一点，则
的最大值为 ▲ ．
14．一几何体的三视图如下图，则它的体积为 ▲ ．
15．已知等差数列
中，
,将此等差数列的各项排成如下三角形数阵:
则此数阵中第20行从左到右的第10个数是 ▲ ．
16．已知
是上的奇函数，若将的图象向右平移一个单位，则得到一个偶函数的图象，若
,则
▲ ．
17．已知
是△
的外心，
，
，
.设
，
,若
，则
▲ ．
三．解答题：本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18.（本题满分14分）在
中，角
满足
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)求
的取值范围.
19.（本题满分14分）体育课进行篮球投篮达标测试，规定：每位同学有5次投篮机会，若投中3次则“达标”；为节省测试时间，同时规定：若投篮不到5次已达标，则停止投篮；若后面投篮全中，也不能达标（例如前3次都未投中等情形），则停止投篮．同学甲投篮命中率为
且每次投篮互不影响．
(Ⅰ)求同学甲恰好投4次达标的概率；
(Ⅱ)设测试中甲投篮次数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.
20.（本题满分15分）如图，四棱锥
中，
⊥底面
∥
，
，∠
=120°，=
，∠
=90°，
是线段
上的一点(不包括端点).
（Ⅰ）求证：
⊥平面
；
（Ⅱ）求二面角
的正切值；
（Ⅲ）试确定点的位置，使直线
与平面
所成角
的正弦值为
.
21.（本题满分14分）已知点（0，1），
，直线
、
都是圆
的切线（
点不在轴上）.
（Ⅰ）求过点且焦点在轴上的抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点(1,0)作直线
与（Ⅰ）中的抛物线相交于
两点，问是否存在定点
使
为常数？若存在，求出点的坐标及常数；若不存在，请说明理由.
22.（本题满分15分）已知函数
，点
.
（Ⅰ）若
，函数在
上既能取到极大值，又能取到极小值，求
的取值范围；
（Ⅱ）当
时，
对任意的
恒成立，求
的取值范围；
（Ⅲ）若
，函数在
和
处取得极值，且
，是坐标原点，证明：直线
与直线
不可能垂直.
一、选择题（每小题5分，共50分）
二、填空题（每小题4分，共28分）
三、解答题
18.解：（Ⅰ）由已有
(4分)
(6分)
（Ⅱ）由（1）
且
(8分)
所以
（10分）
（12分）
（14分）
19.解：（Ⅰ）同学甲同学恰好投4次达标的概率
(4分)
（Ⅱ）
可取的值是
（6分）
（8分）
（10分）
的分布列为
3
4
5
（12分）
所以的数学期望为
（14分）
20.解:（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，BC
平面AC，∴PA⊥BC
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC （4分）
（Ⅱ）取CD的中点E，则AE⊥CD，∴AE⊥AB，又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE
建立如图所示空间直角坐标系，则
A（0，，0，0），P（0，0，
），C（
，0），D（
，0）
，
，
(6分)
易求
为平面PAC的一个法向量.
为平面PDC的一个法向量
（9分）
∴cos
故二面角D-PC-A的正切值为2. (11分)
（Ⅲ）设
,则
,
解得点
,即
（13分）
由
得
(不合题意舍去)或
所以当
为
的中点时,直线
与平面
所成角的正弦值为
（15分）
21.解：（Ⅰ）设直线
的方程为：
由
得
，所以的方程为
(4分)
由
得
点的坐标为
.
可求得抛物线的标准方程为
.
（6分）
（Ⅱ）设直线
的方程为
，代入抛物线方程并整理得
(8分)
设
则
设
，则
(11分)
当
时上式是一个与
无关的常数.
所以存在定点
，相应的常数是
.
(14分)
22．解：（Ⅰ）当
时
(2分)
在
上递增，在
上递减
所以
在0和2处分别达到极大和极小，由已知有
且
，因而
的取值范围是
.
(4分)
（Ⅱ）当
时，
即
可化为
，记
则
(7分)
记
则
，
在
上递减，在
上递增.
从而
上递增
因此
故
(10分)
（Ⅲ）假设
⊥
，即
=
故
，
（12分）
由
，为
(x)=0的两根可得，
从而有
即 
≥2
，这与<2矛盾.
故直线
与直线
不可能垂直.
(15分)