北京市朝阳区高三数学统一练习（二）
（理工类） 2009.5
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知
（
为虚数单位），则
的值分别为 （ ）
A．
，
1 B．，
C．
， D．1，3
2．若函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，则
的
值是 （ ）
A．
B． C．1 D．2
3．设
是
展开式中x2项的系数，则
等于（
）
A．2 B． D．
4．已知集合
，
，若集合
有且只有一个元素，则实数
的取值范围是
（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知两点
，点
是圆
上任意一点，则
面积的最小值是
（ ）
A．8 B．
D．4
6．条件
：
；条件
：函数
在区间
上存在
，使得
成立，
则是的
（
）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
7．已知
，
，，
是平面内不共线的四点，若存在正实数
，
，使得
，则
，
，
（ ）
A．都是锐角 B．至多有两个钝角
C．恰有两个钝角 D．至少有两个钝角
8．已知满足条件
的点
构成的平面区域的面积为
，满足条件
的点构成的平面区域的面积为
，（其中
、
分别表示不大于
、
的最大整数），则点
一定在
（ ）
A．直线左上方的区域内
B．直线上
C．直线右下方的区域内
D．直线
左下方的区域内
第II卷（非选择题 共110分）
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
总分
得分
得分
评卷人
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.将答案填在题中
9．将函数
的图象按向量
平移后，所得图象对应的函数解析式是
．
10．若实数x，y满足不等式组
则函数
的最大值为
．
11．已知菱形
的边长为2，
.将三角形
沿对角线
折到
，使得二面角
的大小为
，则
与平面
所成角的正弦值是
；四面体
的体积为
．
12．椭圆
的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交椭圆于
两点，
则
的周长为
；若两点的坐标分别为
和
，且
的面积是4，则
的值为
．
13．对于任意两个正整数，定义运算（用
表示运算符号）：当
都是正偶数或都是正奇数时，
；而当中一个为正偶数，另一个为正奇数时，
．例如
，
.在上述定义中，集合
的元素有
个．
14．已知
是定义在
上不恒为零的函数，对于任意的
，都有
成立． 数列
满足
，且
.则数列的通项公式
__________________ .
得分
评卷人
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
已知函数
的最小正周期为
.
(Ⅰ)试求
的值；
(Ⅱ) 在锐角
中，a，b，c分别是角A，B，C的对边.若
的面积
,求
的值.
得分
评卷人
16. （本小题满分14分）
如图，四棱锥
的底面是矩形，
底面，
为
边的中点，
与平面所成的角为
，且
，
.
(Ⅰ)求证：
平面
；
(Ⅱ)求点
到平面
的距离；
（Ⅲ）求二面角
的大小.
得分
评卷人
17．（本小题满分13分）
在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有
，且
个，其余的球为红球．
(Ⅰ)若
，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；
(Ⅱ)从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是
，求红球的个数；
（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出
的分布列，并求的数学期望
．
得分
评卷人
18．（本小题满分13分）
已知双曲线
的左顶点为，右焦点为
，右准线与一条渐近线的交点坐标为
．
（Ⅰ）求双曲线
的方程；
（Ⅱ）过右焦点的直线
(不与x轴重合)与双曲线交于
两点，且直线
、
分别交双曲线的右准线于、
两点，求证：
为定值．
得分
评卷人
19．（本小题满分13分）
设数列
的首项
，前
项和为
，且点
在直线
(
为与无关的正实数)上．
(Ⅰ) 求证：数列是等比数列；
(Ⅱ) 记数列的公比为
，数列
满足
．
设
，求数列
的前项和
；
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，设
，证明
．
得分
评卷人
20．（本小题满分14分）
已知函数
．
(Ⅰ)求函数的最小值；
(Ⅱ)求证：
；
(Ⅲ)对于函数
与
定义域上的任意实数
，若存在常数
，使得
和
都成立，则称直线
为函数与的“分界线”.设函数
，
，与是否存在“分界线”？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
北京市朝阳区高三统一练习二
数学理科答案 2009.5
一、选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
A
C
D
A
D
A
二、填空题:
(9) 
;
(10)
2;
(11) 
;
(12) 16,
;
(13) 15;
(14) 
.
三、解答题:
(15) 解: （Ⅰ）因为
因为函数的最小正周期为,且
,故
. ………………………6分
(Ⅱ)由（Ⅰ）可知，
.
由
得，
,
所以
.
又因为
,所以
,
所以
,即
.
又因为
,且，所以
.
由余弦定理得
.
解得
（舍负），所以
.
………………………13分
(16) 证明：（Ⅰ）因为底面，
所以
是与平面所成的角.
由已知
， 所以
.
易求得，
，又因为，
所以
， 所以
.
因为底面，
平面,
所以
. 由于
，
所以平面.
………………………4分
解：（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，平面.又因为平面,
所以平面
平面，
过作
于
，（如图）则平面，
所以线段的长度为点到平面的距离.
在
中，易求得
, 所以
.
所以点到平面的距离为
.
………………………9分
（Ⅲ）设为
中点. 连结
，由于底面，
且
平面
，则平面平面.
因为
，所以平面.
过作
，垂足为
，连结
，
由三垂线定理可知
，
所以
是二面角的平面角.
容易证明
∽
，则
，
因为
，，
，
所以
.
在
中，因为
，所以
，
所以二面角的大小为
. ………………………14分
解法二:
因为底面，
所以是与平面所成的角.
由已知，
所以.
建立空间直角坐标系（如图）.
由已知，为中点.
于是
、
、
、
、
.
（Ⅰ）易求得
，
， 
.
因为
, 
,
所以，
.
因为
，所以平面.
………………………4分
（Ⅱ）设平面的法向量为
，
由
得
解得
，
所以
. 又因为
,
所以点到平面的距离
. ………………………9分
（Ⅲ）因为
平面，所以
是平面的法向量， 易得
.
由（Ⅱ）知平面的法向量，
所以
.
所以二面角的大小为
. ………………………14分
(17) 解：（Ⅰ）设“从袋中任取1个球是红球”为事件A，则
．
所以，
．
答：三次取球中恰有2个红球的概率为
． ………………4分
（Ⅱ）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B，则
整理得：
，解得n=3（舍）或n=4．
所以，红球的个数为3个． ………………………8分
（Ⅲ）的取值为2，3，4，5，6，且
所以的分布列为
2
3
4
5
6
P
所以，
………………………13分
(18) 解：（Ⅰ）双曲线的右准线为
，渐近线为
.
因为右准线与一条渐近线的交点坐标为，
所以
解得
．
于是，双曲线的方程为
．
………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点
的坐标分别为
，右准线为
．
当直线斜率不存在时，点的坐标分别为
，
则直线
方程分别为
，
令，得
的坐标分别为
，
此时
．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，
由
得
．
因为直线与双曲线交于两点，
所以
，
，解得
．
设两点坐标分别为
，
则
，
．
则直线方程分别为
，
令，得的坐标分别为
，
所以
．
所以，为定值
．
………………………13分
(19) 解：(Ⅰ)因为点
在直线（为与无关的正实数）上，
所以
，即有
．
当
时，
．
由
，解得
，所以
．
当
①
②
①－②，得 
，整理得
．
综上所述，知 
，因此是等比数列． …………………5分
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知
，从而
，
所以
．
因此，
是等差数列，并且
．
所以，
．
………………………10分
(Ⅲ) 由(Ⅱ)知
，则
．
将
用二项式定理展开，共有
项，其第
项
为
同理，
用二项式定理展开，共有
项，第项为
，其前项中的第项为
，
由
，
得
又
，
∴ ．
………………………13分
(20) (Ⅰ)解：因为
，令
，解得
，
令
，解得
，
所以函数在
上递减，
上递增，
所以的最小值为
．
………………………3分
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知函数在
取得最小值，所以
，即
两端同时乘以
得
，把换成
得
，当且仅当
时等号成立．
由得，
，
， 
，…
，
．
将上式相乘得
．………………………9分
（Ⅲ）设
.
则
．
所以当
时，
；当
时，
．
因此
时
取得最小值0，则与的图象在
处有公共点
．
设与存在 “分界线”，方程为
.
由
在
恒成立，
则
在恒成立.
所以
成立.因此
.
下面证明
成立.
设
，
.
所以当时，
；当时，
.
因此时
取得最大值0，则成立.
所以，
.
………………………14分