石景山区2009年初三第一次统一练习暨毕业考试
数学试卷
考
生
须
知
1．本试卷共6页．全卷共九道大题，25道小题．
2．本试卷满分120分，考试时间120分钟．
3．在试卷密封线内准确填写区（县）名称、毕业学校、姓名、报名号和准考证号．
4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回．
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）
1．27的立方根是
A. 9 B. 
D.
2．北京奥组委和国际奥委会在新闻发布上说：“中国有8亿4千万（840000000）人观看了奥运会开幕式，这确实是一个令人惊讶的数字．” 840000000这个数字用科学记数法可表示为
A.. 
B. 
C. 
D.
3．如果两圆半径分别为3和4，圆心距为6，那么这两圆的位置关系是
A. 相交 B. 内切 C. 外离 D. 外切
4. 在一个暗箱里，装有3个红球、5个黄球和7个绿球，它们除颜色外都相同，搅拌均匀后，从中任意摸出一个球是红球的概率是
A. 
B.
C.
D.
5．要使式子
有意义，字母
的取值必须满足
A. 
B.
C.
D.
6. 某校初三（1）班一组女生体重数据统计表如下：
体重（千克）
人数（人）
该组女生体重的平均数、众数、中位数分别是
A．
、、
B．、、
C．、、
D．、、
7. 已知：如图，在
中，
是
边上的一点，且
，
， 
，则
边上的高
的长为
A. 
B. 
C. 
D. 
8．若正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，则把每个小格的顶点叫做格点．现有一个表面积为12的正方体，沿着一些棱将它剪开，展成以格点为顶点的平面图形，下列四个图形中，能满足题意的是
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
9．分解因式：
．
10．若关于的方程
有两个相等的实根，则
的值是
．
11．三角形纸片
中，
，
，将纸片的一角折叠，使点
落在内（如图），则
=_________°．
12．将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积之比
:
等于
________.
三、解答题（共5个小题，每小题5分，共25分）
13．计算：
．
14．解不等式组
，并把它的解集表示在数轴上．
15．解方程：
．
16．已知：如图，在菱形
中，分别延长、
到
、
，使得
，
联结
、
．
求证：
．
17．已知
，求代数式
的值．
四、解答题（共2个小题，每小题5分，共10分）
18．如图，等腰梯形中，
，
，翻折梯形，使点
与点重合，折痕分别交边、于点、，若
，
．
（1）求
的长；
（2）求
的正切值．
19．已知：如图，点
是⊙
上一点，半径
的延长线与过点的直线交于点，
，
．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若
，
，求弦
的长．
五、解答题（本题满分6分）
20．在我国，除夕之夜，全家一起看春节联欢晚会是人们传统的娱乐活动，尤其是小品类节目为我们带来了很多的欢乐．为了统计观众对2009年春晚小品类节目的喜好，中央电视台在网上进行了“2009年春晚我最喜爱的小品”调查问卷，并将统计结果绘制成两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
（1）求参加调查的观众喜欢小品《暖冬》的人数占总投票人数的百分比；
（2）求参加调查的观众喜欢小品《黄豆黄》的人数并补全条形图；
（3）若北京市共有1200万人收看了春晚节目，请你估算北京市喜欢小品《不差钱》
的观众约有多少人？
（说明：A：《吉祥三宝》；B：《黄豆黄》；C：《水下除夕夜》；
D：《北京欢迎你》；E：《暖冬》；F：《不差钱》）
六、解答题（共2个小题，第21题4分，第22题5分，共9分）
21．已知：如图，直角三角形
的两直角边
、
分别在轴的正半轴和
轴的负半轴上，为线段上一点，
，抛物线
（
是常数，且
）经过、两点．
（1）求出、两点的坐标（可用含的代数式表示）；
（2）若
的面积为，求的值．
22．在数学小组活动中，小聪同学出了这样一道“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线
，在直线两边各放一粒跳棋子、，使线段长厘米，并关于直线对称，在图中
处有一粒跳棋子，距点
厘米、与直线的距离
厘米，按以下程序起跳：第次，从点以为对称中心跳至
点；第次，从点以为对称轴跳至
点；第次，从点以为对称中心跳至
点；第
次，从点以为对称轴跳至点．
（1）画出跳棋子这次跳过的路径并标注出各点字母（画图工具不限）；
（2）棋子按上述程序跳跃
次后停下，假设
，
，
，计算这时它与
点的距离．
七、解答题（本题满分7分）
23．两个反比例函数
和
（
）在第一象限内的图象如图所示，动点
在的图象上，
轴于点，交的图象于点，
轴于点，交的图象于点．
（1）求证：四边形
的面积是定值；
（2）当
时，求
的值；
（3）若点的坐标为（
，），
、
的面积分别记为
、
，设
．
①求
的值；
②当
为何值时，
有最大值，最大值为多少？
八、解答题（本题满分7分）
24．已知：如图，半圆的直径
，在中，
，
，
．半圆以每秒
的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动时间为
（秒），当
（秒）时，半圆在的左侧，
．
（1）当为何值时，的一边所在直线与半圆所在的圆相切？
（2）当的一边所在直线与半圆所在的圆相切时，如果半圆与直线
围成的区域与三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．
九、解答题（本题满分8分）
25．已知：如图（1），射线
射线
，是它们的公垂线，点、分别在
、上运动（点与点不重合、点与点不重合），是边上的动点（点与、不重合），在运动过程中始终保持
，且
．
（1）求证：
∽
；
（2）如图（2），当点为边的中点时，求证：
；
（3）设
，请探究：的周长是否与值有关？若有关，请用含有的代数式表示的周长；若无关，请说明理由．
石景山区2009年初三第一次统一练习暨毕业考试
阅卷须知：
1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅．
2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
B
D
A
C
B
A
D
A
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
题 号
9
10
11
12
答 案
（或
）
三、解答题（共5个小题，每小题5分，共25分）
13. 解：
…………………………………3分
．
…………………………………5分
14. 解：由不等式
，得
． …………………………………1分
由不等式
，得
．
…………………………………2分
∴ 原不等式组的解集是
． …………………………………3分
在数轴上表示为：
 |
…………………………………5分
15. 解：去分母，得
．
…………………………………2分
去括号，整理，得
．
解得 
．
…………………………………4分
经检验，是原方程的根．
…………………………………5分
所以，原方程的根为．
 |
16．证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ 
，
．
∴ 
． …………………2分
在
和
中，
∴ ≌．
…………………………………4分
∴ 
．
…………………………………5分
17．解：
．
…………………………………3分
∵ 
，
∴ 
．
即 
．
…………………………………5分
四、解答题（共2个小题，每小题5分，共10分）
18. 解：（1）由题意得
≌
，所以，
．
∵ 在
中，，
，
∴ 
．
∴ 
．即
．
…………………………………1分
在等腰梯形
中，
，
，∴ 
．
∴ 
．
…………………………………3分
（2）由（1）得，
．
在
中，
，
，
，
所以，
．
…………………………………5分
19.（1）证明：如图，联结
．
…………………………………1分
∵ 
，
，
∴ 
．
∴ 
是等边三角形．
∴ 
，
．
∴ 
．
∴ 
．
…………………………………2分
所以，
是⊙
的切线． …………………………………3分
（2）解：作
于
点．
∵ ，∴ 
．
又
，
，所以在
中，
．
在
中，∵ ，∴ 
．
由勾股定理，可求
．
所以，
．
…………………………………5分
五、解答题（本题满分6分）
20. 解：
（1）10%． ……………………2分
（2）340人，见右图．……………………4分
（3）约660万人． ……………………6分
六、解答题（共2个小题，第21题4分，第22题5分，共9分）
21. 解：（1）在抛物线
中，令
，得
，
解得
或
（
）．所以，
，
．
∵ 
，∴ 
．
所以，
点的坐标为（
，0），
…………………………………1分
点的坐标为（
，
）．
…………………………………2分
（2）
的面积
，所以，当
时，
．
…………………………………4分
22. 解：（1）跳棋子跳过路径及各点字母如图．
………………3分
（2）跳跃15次后，停在
处，
过作
，垂足为
点，
则
；
由
，∴ 
．
…………………………………5分
七、解答题（本题满分7分）
23．（1）证明：设
，
，
，
与
的面积分别为
，
，矩形
的面积为
．
由题意，得 
，
，
．
∴ 
，
，
．
∴ 
．
∴ 四边形
的面积是定值．
…………………………………2分
（2）解：由（1）可知
，则
．
又∵ 
，
∴ 
．
∵ 
，
，
∴ 
．
∴ 
． …………………………………4分
（3）解：①由题意知：
． …………………………………5分
②、两点坐标分别为
，
，
∴ 
．
∴ 
．
∴ 
．
∴ 当
时，
有最大值
．
…………………………………7分
八、解答题（本题满分7分）
24．解：（1）如图（1），当
时，
的
边与⊙相切；
如图（2），当
时，的边与⊙相切；
如图（3），当
时，的边与⊙相切；
如图（4），当
时，的边所在直线与⊙相切．
…………………………………4分
（2）由（1），可知，当和时，半圆与直线
围成的区域与
三边围成的区域有重叠部分，如图（2）、（3）的阴影部分所示，重叠部分的面积分别为
和
．
…………………………………7分
 |
 |
 |
|||
 |
九、解答题（本题满分8分）
25．（1）证明：∵ 
，∴ ．∴ 
．
又∵ 
，∴ 
．
∴ 
．∴ 
∽
． …………………………………2分
（2）证明：如图，过点作
，交
于点
，
∵ 是的中点，容易证明
．
在
中，∵ 
，∴ 
．
∴ 
．
∴ 
．
…………………………………5分
（3）解：
的周长
，
．
设
，则
．
∵ 
，∴ 
．即
．
∴ 
．
由（1）知∽，
∴ 
．
∴ 的周长
的周长
．
∴ 的周长与值无关．
…………………………………8分