讲讲菱形的判定

    菱形，是四边相等的四边形，这是菱形的定义，要判断一个四边形是不是菱形，除用定义判断，还可用其它等价条件。

    1. 证明四边形的四条边相等

    例1  已知：如图1，C是线段BD上一点，和都是等边三角形，R、F、G、H分别是四边形ABDE各边的中点。求证：四边形RFGH是菱形。

    证明：连结AD、BE

    因为和都是等边三角形

    所以

    故四边形RFGH是菱形

    2. 邻边相等的平行四边形一定是菱形

    例2  已知：如图2，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点。求证：四边形MENF是菱形。

    证明：因为E是BM的中点，N是BC的中点，F是CM的中点

    3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

    例3  已知：如图3，梯形ABCD中，AD//BC，对角线，M、N为底边BC的三等分点，且BC=3AD，AM与BD交于点G，AC与DN交于点H。求证：四边形AGHD是菱形。

    证明：因为BC=3AD

    M、N是BC的三等分点

    又1=2

    所以四边形AGHD是平行四边形

    又，所以四边形AGHD是菱形。

    4. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形

    例4  已知：如图4，中，BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F。

    求证：四边形CDEF是菱形。

    证明：连结CE交AD于点O

    因为AC=AE

    所以为等腰三角形

    因为AO平分CAE

    所以，且OC=OE

    因为EF//CD，

    所以1=2

    所以OF=OD

    于是CE垂直平分DF

    所以四边形CDEF是菱形

    总结以上，得到下表

    练习：

  1. 求证：顺次连结等腰梯形各边中点所构成的四边形是菱形。

  2. 求证：顺次连结等腰梯形上、下底的中点和两对角线的中点所构成的四边形是菱形。

  3. 求证：顺次连结矩形四边中点所构成的四边形是菱形。

  4. 求证：过矩形各顶点平行于对角线的垂线围成的四边形是菱形。

  5. 在平行四边形ABCD中，，M、N分别是AD、BC的中点。求证四边形ANCM是菱形。

  6. 已知：中，AB=AC，D是BC的中点，DE//AC，DF//AB，DE、DF分别交AB、AC于点E、F，求证：四边形AEDF是菱形。