用尺规平分角

陈鸿儒

    初中几何课本人教版第二册58页的《平分已知角》的教学，是最基本的作图方法，其实，课本中很多章节的教学都暗示着平分已知角尺规作图的知识与方法，若稍加注意就可挖掘一二。

    已知：。

    作法1  （《几何》第二册58页作法）

    1. 如图1，在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE。

    2. 分别以D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在AOB内交于点C。

    3. 作射线OC，OC就是AOB的平分线。

    证明  连结EC、DC

    因为OD=OE，DC=EC，OC=OC

    所以

    所以COA=COB

    作法2  （课本第55页第3题）

    如图2，在AOB的两边OA、OB上分别取OM=ON，分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画出射线OP。

    证明  OP平分AOB

    分析  该题的已知是尺规作图的另一种方法，可引导学生按照题意写出已知、求作、作法与证明。

    作图步骤：

    1. 在AOB的两边OA、OB上分别截取OM、ON，使OM=ON。

    2. 分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P。

    3. 作射线OP，OP就是AOB的平分线。

    证明  因为，OM=ON，OP=OP

    所以

    所以POM=POB

    注  该作法加深了同学们对该节学习角平分线性质的理解，通过证明又联系到两直角三角形全等的“HL”判定理。

    该题是要求用直角三角形做出，我们学习了尺规作图，应该按照基本作图方法，过一点作已知直线的垂线方法来作。

    作法3（课本第二册116页B组习题1）

    如图3，在AOB的两边OA、OB上分别取OQ=OP，OT=OS，PT和QS相交点C，求证OC平分AOB。

    分析  该题的已知暗示了尺规作图平分已知角的又一种方法。

    作图步骤：

    1. 如图3，在AOB两边OA、OB上分别截取OQ=OP，OT=OS。

    2. 连结PT、QS相交于点C。

    3. 作射线OC，OC就是AOB的平分线。

    证明  由作法，知OQ=OP，OT=OS

    所以

    即PSC=QTC

    又PCS=QCT，PS=QT

    所以

    又OT=OS，OC=OC

    所以

    注  该作角平分线的方法，较容易掌握，切实可行，该作图证明，用到了三角形全等的SAS、AAS、SSS等定理，须引导学生善于找出对应的三角形关系。

    作法4 

    1. 如图4，在AOB的边OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE。

    2. 连结DE。

    3. 取DE的中点C。

    4. 作射线OC，OC就是AOB的平分线。

    证明  因为OD=OE，C是DE的中点，所以OC是等腰底边DE的中线，也是高线，也是顶角AOB的平分线。

    注  在学习等腰三角形性质时，可插入该作图方法，使学生加深对等腰三角形底边上的中线，高线，顶角平分线，三线合一的理解。该作图取线段DE的中点C应运用线段垂直平分线的基本作法来解决，培养学生的动手能力，提高基本作图技能。

    作法5 

    1. 如图5，过边OB上任意一点D作OA边的平行线DE。

    2. 在DE上取DC=DO。

    3. 作射线OC，OC就是AOB的平分线。

    分析  该作图联系了两直线平行内错角相等和等腰三角形两底角相等的性质。

    证明  由作法，知DC//OA

    所以DCO=AOC

    又DC=DO

    所以DCO=DOC，AOC=DOC

   以上几种角平分线的尺规作图方法，都是由几何证明题改编而成的，可激发同学们学习几何的兴趣，开拓思路，增进知识的横纵联系，巩固基础，培养动脑动手能力。