参考答案

难点磁场

(1)解：依题意，对一切x∈R,有f(x)=f(－x),即+ae^x.整理，得(a－)

(e^x－)=0.因此，有a－=0,即a²=1,又a>0,∴a=1

(2)证法一：设0＜x₁＜x₂,则f(x₁)－f(x₂)=

由x₁>0,x₂>0,x₂>x₁,∴>0,1－e＜0,

∴f(x₁)－f(x₂)＜0,即f(x₁)＜f(x₂)

∴f(x)在(0,+∞)上是增函数

证法二：由f(x)=e^x+e^－x，得f′(x)=e^x－e^－x=e^－x.(e^2x－1).当x∈(0,+∞)时，e^－x>0,e^2x－1>0.

此时f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函数.

歼灭难点训练

一、1.解析：f(－x)=　=－f(x)，故f(x)为奇函数.

答案：C

2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.

答案：C

二、3.解析：令t=|x+1|,则t在(－∞,－1上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1上递减.

答案：(－∞,－1

4.解析：∵f(0)=f(x₁)=f(x₂)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x₁)(x－x₂)=ax³－a(x₁+x₂)x²+ax₁x₂x，

∴b=－a(x₁+x₂),又f(x)在［x₂,+∞单调递增，故a>0.又知0＜x₁＜x,得x₁+x₂>0,

∴b=－a(x₁+x₂)＜0.

答案：(－∞,0)

三、5.证明：(1)设－1＜x₁＜x₂＜+∞,则x₂－x₁>0, >1且>0,

∴>0,又x₁+1>0,x₂+1>0

∴>0,

于是f(x₂)－f(x₁)=+　>0

∴f(x)在(－1，+∞)上为递增函数.

(2)证法一：设存在x₀＜0(x₀≠－1)满足f(x₀)=0,则且由0＜＜1得0＜－＜1,即＜x₀＜2与x₀＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.

证法二：设存在x₀＜0(x₀≠－1)使f(x₀)=0,若－1＜x₀＜0,则＜－2,＜1,∴f(x₀)＜－1与f(x₀)=0矛盾，若x₀＜－1,则>0, >0，∴f(x₀)>0与f(x₀)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.

6.证明：∵x≠0,∴f(x)=,

设1＜x₁＜x₂＜+∞,则.

∴f(x₁)>f(x₂),故函数f(x)在(1，+∞)上是减函数.(本题也可用求导方法解决)

7.证明：(1)不妨令x=x₁－x₂,则f(－x)=f(x₂－x₁)=　

=－f(x₁－x₂)=－f(x).∴f(x)是奇函数.

(2)要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).

∵f(x+a)=f［x－(－a)］=.

∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.

8.(1)证明：设x₁＜x₂,则x₂－x₁－>－,由题意f(x₂－x₁－)>0,

∵f(x₂)－f(x₁)=f［(x₂－x₁)+x₁］－f(x₁)=f(x₂－x₁)+f(x₁)－1－f(x₁)=f(x₂－x₁)－1=f(x₂－x₁)+f(－)－1=f［(x₂－x₁)－］>0,

∴f(x)是单调递增函数.

(2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.