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7．(北师大版第54页A组第6题)值域
变式1： 解：作出函数
的图象，容易发现在
上是增函数，在
上是减函数，求出
，
，
，注意到函数定义不包含
，所以函数值域是
．变式2：解：∵ y= cos2x+sinx=－2sin2x+sinx+1，令t= sinx Î [－1,1]，
则y=－2t2+t+1，其中tÎ [－1,1]，
∴y Î [－2, ]，即原函数的值域是[－2, ]．
变式3： 解：(I) ∵ f (1 + x) = f (1－x)，
∴ － = 1，
又方程 f (x) = x 有等根 Û a x 2 + (b－1) x = 0 有等根，
∴ △= (b－1) 2 = 0 Þ b = 1 Þ a = －，
∴ f (x) = －x 2 + x．
(II) ∵ f (x) 为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1，
1° 当 m≥1 时，f (x) 在 [m,n] 上是减函数，
∴ 3m = f (x)min = f (n) = －n 2 + n (*)，
3n = f (x)max = f (m) = －m 2 + m，
两式相减得：3 (m－n) = －(n 2－m 2) + (n－m)，
∵ 1≤m < n，上式除以 m－n 得：m + n = 8，
代入 (*) 化简得：n 2－8n + 48 = 0 无实数解．
2° 当 n≤1 时，f (x) 在 [m,n] 上是增函数，
∴ 3m = f (x)min = f (m) = －m 2 + m，
3n = f (x)max = f (n) = －n 2 + n，
∴ m = －4，n = 0．
3° 当 m≤1≤n 时，对称轴 x = 1 Î [m,n]，
∴ 3n = f (x)max = f (1) = Þ n = 与 n≥1 矛盾．
综合上述知，存在 m = －4、n = 0 满足条件．
- 题目来源：08高考数学二次函数复习测试 郭键