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数学(理科)试题参考答案及评分标准

说明：

　　 　一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

　　　 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

　　　 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

　　　 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．

　　　 1．A　 2．C　 3．C　 4．B　 5．A　 6．D　 7．B　 8．D　 9．A　 10．D　 11．D　 12．A

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题4分。满分16分．

　 13．15；14．；15．；16．

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．本小题主要考查三角函数的倍角公式、和角公式，三角函数的图象与性质等基础知识；考查理解能力和运算能力．满分12分．

解：……………………………………………………(4分)

　　　　　　　　 ………………………………………(6分)

…………………………………………………(8分)

…………………………………………(10分)

即时，f(x)单调递增.

　 ∴f(x)单调递增区间为[，]……………………(12分)

18．本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识考查化归与转化的思想方

　 法；考查推理与运算能力．满分12分．

解法一：(I) ，且a₁=1，显然a_n≠0

　　　　　　　　　　 ，又c为常数，

　　　　　　　　　　 ∴数列是等差数列. ………………………………………………(4分)

　　　　　　　 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，……………………………(5分)

　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　 又∵a₁，a₂，a₅成等比数列，，解得c=0或c=2. (7分)

当c=0时，a_n+1=a_n，不合题意，舍去.

∴c=2. ……………………………………………………………………(8分)

　　　　　　　　 (Ⅲ)由(Ⅱ)知c=2，∴…………………………………………(9分)

…………(10分)

……………………………………………………(11分)

.…………………………………………………………(12分)

解法二：(Ⅰ) ，且a₁=1，显然a_n≠0

，……………………………………………(2分)

，又c为常数，

∴数列是等差数列……………………………………………(4分)

(Ⅱ)、(Ⅲ)解法同解法一.

19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想象能力。逻辑思维能力和探索问题、解决问题的能力．满分12分．

解法一：如图分别以DA、DC、DD₁所在的直线为x 轴、

y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，由已知

得D(0，0，0)、A(2，0，0)、B(2，2，0)、

C(0，2，0)、B₁(2，2，2)、D₁(0，0，2)、

E(1，0，2 )、F(0，2，1)．…………(2分)

　　　 　　　　(Ⅰ)易知平面ACD₁的一个法向量是

　　　　　　　　　　　 =(2，2，2). …………………(4分)

又∵=(-1,2，-1)，

由.= -2+4-2=0，

∴⊥，而EF平面ACD₁，

∴EF∥平面ACD₁……………………………………………………(6分)

(Ⅱ) ∵=(0,2，0)，cos<,>=

∴异面直线EF与AB所成的角为arccos……………………(8分).

(Ⅲ)设点P(2，2，t)(0<t≤2)，平面ACP的一个法向量为=(x，y，z)，

　　　　　　　　　 则

　　　　　　　　　 ∵=(0，2，t), =(-2，2，0)，

　　　　　　　　　 ∴取.

易知平面ABC的一个法向量，

依题意知，<，>=30°或<，>=150°，

∴|cos<，>|=………………………(10分)

即，解得

∵，∴在棱BB₁上存在一点P，当BP的长为时，

二面角P-AC-B的大小为30°. ……………………………(12分)

解法二：(Ⅰ)同解法一知=(-1,2，-1) ，=(-2,0，2)，

= (-2,2，0)，∴-=，

∴、、共面.

又∵EF平面ACD₁，∴EF∥平面ACD₁. ……………………………(4分)

(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一．

解法三：(Ⅰ)取AD₁的中点K，连结EK、KC，在△AA₁D₁

中，EK∥AA₁，且EK=AA₁，

∵FC=CC₁，CC₁∥AA₁，∴FC　　　 EK，

∴四边形EKCF为平行四边形，

∴EF∥CK．又∵CK平面ACD₁，

EF平面ACD₁，∴EF∥平面ACD₁. (4分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知EF∥CK，又AB∥CD，

　　 　　　　　　　　∴∠DCK就是异面直线AB和EF所成的角(或补角)．

　　　 　　　　　　　连DK，∵CD⊥平面AD₁，DK平面AD₁，

　　 　　　　　　　　∴CD⊥DK，在Rt△CDK中，DC=2，DK=，∴tan∠DCK=，

∴异面直线AB和EF所成的角为arctan．…………………(8分)

　　　　　　　 (Ⅲ)假设存在点P，使得二面角P-AC-B的大小为30°．连结BD交AC于O　　　 点，连结OP，∵ABCD为正方形，∴BO⊥AC，而OB为OP在平面AC上的射影，由三垂线定理得OP⊥AC，

　　 　　　　　　　　∴∠BOP为二面角P-AC-B的平面角，∴∠BOP=30°，

　　　 　　　　　　　则tan30°=,　 ∴BP=

　　　　　　 ∵∴在棱BB₁上存在一点P，当BP的长为时，

二面角P-AC-B的大小为30°. ……………………………………(12分)

解法四：(Ⅰ)取D₁C₁的中点H，连结EH，FH，A₁C₁，

　　　 　　　　　　　∵E为A₁D₁的中点，∴EH∥A_lC_l，

　　　 　　　　　　　而A₁C₁∥AC，∴EH∥AC，

　　　 　　　　　　　又∵F为CC₁的中点，∴HF∥D₁C．

　　　 　　　　　　　∵EH与HF相交，D₁C与AC相交，

　　 　　　　　　　　∴平面EHF∥平面ACD₁，EF平面EHF，

　　　 　　　　　　　∴EF∥平面ACD₁．　 ………………(4分)

　　　 　　　　　　　(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法三．

20．本小题主要考查函数与不等式等基础知识；考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分．

解法一：(Ⅰ)依题意设v=kω²，……………………………………………………(2分)

　　　 　　　　　　　又当ω=3时，v=54000，∴k=6000，…………………………………(3分)

　　　 　　　　　　　故vω²=6000ω²．………………………………………………………(4分)

　　 　　　　　(Ⅱ)设这颗钻石的重量为a克拉，

　　　 　　　　　　　由(Ⅰ)可知，按重量比为l∶3切割后的价值为

　　 　　　　　　　　6000(a)²+6000(a)²．…………………………………………… (6分)

　　 　　　　　　　　价值损失为

　　　 　　　　　　　6000a²一[6000(a)²+6000(a)²]．…………………………………(7分)

　　　 　　　　　　　价值损失的百分率为

　　　　　　　　　　

　　 　　　　　　　　答：价值损失的百分率为37.5%．……………………………………(8分)

(Ⅲ)若把一颗钻石按重量比为m∶n切割成两颗，价值损失的百分率应为

　　，…………………………(10分)

又，…………………………………(11分)

　　　 　　　　　等号当且仅当m=n时成立.

　 　　　　　　 即重量比为1∶1时，价值损失的百分率达到最大………………(12分)

解法二：(Ⅰ)、(Ⅱ)同解法一．

　　 　　 (Ⅲ)设一颗钻石切割成两颗，其重量比为1∶x，

　　 　　　　　　　　　则价值损失的百分率为

　　　　　　　　　　　 ,………………………………(10分)

　　　　　　　　　　　 又x>0，∴x²+1≥2x，

　　　　　　故

等号当且仅当x=1时成立．……………………………………………(11分)

故当重量比为1∶1时，价值损失的百分率达到最大………………(12分)

21．本小题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查解析几何的基本思想方法；考查分析问题、解决问题的能九满分12分．

解法一：(Ⅰ)设D(x，y)，∵A(a，0)，由ABCD为菱形

　　　 　　　　　　　且AC、BD的交点在y轴上，

　　　 　　　∴B、C两点坐标为(-x，0)、(-a，y)．

　　　 　　　　　　　由AC⊥BD得

.＝(2x，y).(2a，-y)

＝4ax - y²=0，

即　y² = 4ax. …………………………(4分)

注意到ABCD为菱形，∴x≠0

故轨迹E的方程为y² = 4ax(x≠0).

……………………………………(5分)

(Ⅱ)∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°．

…………………………………(6分)

　　　　　　 证明如下：

(1)当PQ⊥x轴时，P、Q点的坐标为(a，±2a)，又R(一a，0)，

　 　　　　　　　　　　此时∠PRQ=90°，结论成立；……………………………………(7分)

(2)当PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=k(x一a)，

　 由得　k²x² - (2ak²+4a)x + k²a² = 0

　 　　　　　　记P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则x₁+x₂ ＝2a+，x₁ x₂=a².

　　　　　　　.＝(x₁+a)(x₂+a)+y₁y₂

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 =(x₁+a)(x₂+a)+k²(x₁- a)(x₂- a)

　　　　　　　　　　　　 =(1+k²) x₁ x₂+(a - ak²)( x₁+x₂)+a²+a²k²

　　　　　　　　　　　　 =(1+k²) a² +(a - ak²)( 2a+)+a²+a²k²=>0

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………………………………………(10分)

　　 　　　　　　　　　　　即<,>为锐角，……………………………………………(11分)

　　　 　　　　　　　　　　综上(1)、(2)知∠PRQ≤90°成立．　 …………………………(12分)

解法二：(Ⅰ)设D(x，y)，由ABCD为菱形且AC、BD的交点在y轴上，

　　 　　　　　　　　　∴C点坐标为(-a，y)，∵A(a，0)，由|DA|=|DC|得

　　　　　　　　　　　 ，

　 　　　　　化简得y²=4ax．………………………………………………………(4分)

　 　　　　　注意到ABCD为菱形，∴x≠O，

　 　　　　　故轨迹E的方程为y²=4ax(x≠O)．……………………………………(5分)

(Ⅱ)∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°.……………………………(6分)

　　　 　　　　证明如下：

　　　　　　设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，同证法一易知，则x₁ x₂=a².又y₁²=4ax₁，y₂²=4ax₂，且｜PR｜²＝x₁+x₂+2a ，因为

　　　　　　｜PR｜²+｜QR｜²-｜PQ｜²＝(x₁+a)²+y₁²+(x₂+a)²+y₂²-( x₁+x₂+2a)²

　　　　　　　　　　　　 =2ax₁+2ax₂-4a²≥2 -4a²=4a-4a²=0……………(9分)

　　　　　　从而　cos∠PRQ=≥0，……………………(11分)

即∠PRQ≤90°…………………………………………………………(12分)

解法三：(Ⅰ)因为ABCD为菱形，且AC与BD的交点在y轴上，

　　　 　　　　　　　　所以点C的横坐标为 -a，

　　 　　　　　　　　　即点C在直线x = -a上，从而D到C的距离等于D到直线x = -a的距　　　 离．又ABCD为菱形，所以点D到点A的距离与点D到直线x = -a的距离　　　 相等，即轨迹E为抛物线，方程为y²=4ax．…………………………(4分)

　　　 　　　　　　　　注意到ABCD为菱形，∴x≠O，

　　 　　　　　　　　　故轨迹E的方程为y²=4ax(x≠O)．……………………………………(5分)

(Ⅱ) ∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°.……………………………(6分)

　　　 证明如下：

如图，过P、Q向x轴及准线x = -a引垂线，记垂足为M、N、C、H，

　　　 　　　　　　　　则|MR|=|PG|=|PA|≥|PM|，所以∠PRM≤45°，…………………(10分)

　　　 　　　　　　　　同理可证∠QRN≤45°，从而∠PRQ≤90°.…………………………(12分)

　 　　解法四：(Ⅰ)同解法一．

　　 　　　　　　　　　(Ⅱ) ∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°.………………………(6分)

　　　 　　　　　　　　证明如下：

设P(x₁，y₁)，则y₁²=4ax₁，tan∠PRM=|k_PR|=||=，…(8分)

∵x₁+a≥2，∴tan∠PRA≤1，∠QRA≤45°，…………………(10分)

同理可证∠QRA≤45°，即∠PRQ≤90°.……………………………(12分)

22．本小题主要考查函数的导数、单调性、极值和不等式等基础知识；考查化归及数形结合的思想方法；考查分析问题、解决问题的能九满分14分．

解：(Ⅰ) 　= 　………………………………………………………(2分)

∵x=0时，f(x)取得极值，∴=0，……………………………………(3分)

故　=0，解得a=1.经检验a=1符合题意. …………………(4分) (Ⅱ)由a=1知f(x)=ln(x+1)-x² - x，由f(x)= +b,

得ln(x+1)-x²+ x-b=0，

令φ(x)= ln(x+1)-x²+ x-b，

则f(x)= +b在[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0在[0，2]

恰有两个不同实数根．………………………………………………………(5分)

　　　　　　 ，………………………………(8分)

当x∈(O，1)时，　>O，于是φ(x)在(O，1)上单调递增；

当x∈(1，2)时，　<0，于是φ(x)在(1，2)上单调递减．…………(8分)

　　　　　　 依题意有

　　　　　　　 ∴ln3 -1≤b<ln2 +.…………………………………………………………(9分)

(Ⅲ) f(x)=ln(x+1)-x² –x的定义域为{x|x> -1}，………………………………(10分)

　　　 由(Ⅰ)知，……………………………………………(11分)

　　　 令=0得，x=0或x= -(舍去)，

　　　 ∴当-1<x<0时，>0，f(x)单调递增；

　　　　　 当x>0时，<0，f(x)单调递减.

∴f(0)为f(x)在(-1,+∞)上的最大值. …………………………………(12分)

∴f(x)≤ f(0)，故ln(x+1)-x²-x≤0(当且仅当x=0时，等号成立).…(13分)

对任意正整数n，取x=>0得，ln(+1)< +，故ln()<.

………………………………………………………………(14分)