53、已知函数，当点在的图像上移动时， 点在函数的图像上移动． (1) 若点P坐标为()，点Q也在的图像上，求的值； (2) 求函数的解析式； (3) 当时，试探求一个函数使得在限定定义域为 时有最小值而没有最大值． 解：(1)当点坐标为()，点的坐标为，…………2分 ∵点也在的图像上，∴，即．……5分 (根据函数的单调性求得，请相应给分) (2)设在的图像上 则，即　　 ……………………………………8分 而在的图像上，∴ 代入得，为所求．…………………………………11分 (3)；或　 等．　　 …………………15分 如：当时， ∵在单调递减，　 ∴　　 故 ， 即有最小值，但没有最大值．………………………18分 (其他答案请相应给分) (参考思路)在探求时，要考虑以下因素：①在上必须有意义(否则不能参加与的和运算)；②由于和都是以为底的对数，所以构造的函数可以是以为底的对数，这样与和进行的运算转化为真数的乘积运算；③以为底的对数是减函数，只有当真数取到最大值时，对数值才能取到最小值；④为方便起见，可以考虑通过乘积消去；⑤乘积的结果可以是的二次函数，该二次函数的图像的对称轴应在直线的左侧(否则真数会有最小值，对数就有最大值了)，考虑到该二次函数的图像与轴已有了一个公共点，故对称轴又应该是轴或在轴的右侧(否则该二次函数的值在上的值不能恒为正数)，即若抛物线与轴的另一个公共点是，则，且抛物线开口向下．

54、如图，一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数时，输出结果记为，且计算装置运算原理如下： ①　　 若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则；②若Ⅰ输入固定的正整数， Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；③若Ⅱ输入1， Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍。 　　 试求： 　　 (1)的表达式；(2)的表达式； 　　 (3)若Ⅰ、Ⅱ都输入正整数，则输出结果能否为2005？ 若能，求出相应的；若不能，则请说明理由。 解：(1) 　 (2) 　 (3)　，∵， 　　　 　∴输出结果不可能为。

55、对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。 　　 对自然数，规定为的阶差分数列，其中。 　 (1)已知数列的通项公式，试判断，是否为等差或等比数列，为什么？ 　 (2)若数列首项，且满足，求数列的通项公式。 　 (3)对(2)中数列，是否存在等差数列，使得对一切自然都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由。 　 解：(1)，∴是首项为4，公差为2的等差数列。 　　　　 ∴是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。 　　 (2)，即，即，∴ 　　　　 ∵，∴，，，猜想： 　　　　 证明：ⅰ)当时，； 　　　　　　　 ⅱ)假设时， 　　　　　　　　　 时，　结论也成立 　　　　　　　 ∴由ⅰ)、ⅱ)可知， 　 　　(3)，即 　　　　 　∵ 　　　　　 ∴存在等差数列，，使得对一切自然都成立。

56、对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f (x)与g (x)，如果对任意x∈[m，n]均有| f (x) – g (x) |≤1，则称f (x)与g (x)在[m，n]上是接近的，否则称f (x)与g (x)在[m，n]上是非接近的，现有两个函数f 1(x) = loga(x – 3a)与f 2 (x) = loga(a > 0，a≠1)，给定区间[a + 2，a + 3]． 　 (1)若f 1(x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上都有意义，求a的取值范围； 　 (2)讨论f 1(x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是否是接近的？ 解：(1)要使f 1 (x)与f 2 (x)有意义，则有 　　　 　　　 要使f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上有意义， 等价于真数的最小值大于0 即 　 (2)f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的 | f 1 (x) – f 2 (x)|≤1 ≤1 |loga[(x – 3a)(x – a)]|≤1 a≤(x – 2a)2 – a2≤ 对于任意x∈[a + 2，a + 3]恒成立 设h(x) = (x – 2a)2 – a2，x∈[a + 2，a + 3] 且其对称轴x = 2a < 2在区间[a + 2，a + 3]的左边 当时 f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的 当< a < 1时，f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是非接近的．

57、已知是定义在－∞，+∞上的函数，∈－∞，+∞，请给出能使命题：“若+1＞0，则+＞+”成立的一个充分条件： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　． 已知是定义在－∞，+∞上的函数，∈－∞，+∞，请给出能使命题：“若+1＞0，则+＞+”成立的一个充分条件：_______. 答案： 函数在－∞，+∞上单调递增(或＝+(＞0)等)　　 ．

59、集合P＝1，3，5，7，9，┅，2－1，┅∈N，若∈P，∈P时， 　 ∈P，则运算　 可能是(　 D　 ) (A)加法；　 (B)除法；　 (C)减法；　 (D)乘法．

60、，，┅，，，，┅，分别表示实数，，┅，中的最小者和最大者． (1)作出函数＝｜+3｜+2｜－1｜(∈R)的图像； (2)在求函数＝｜+3｜+2｜－1｜(∈R)的最小值时，有如下结论： ＝，＝4．请说明此结论成立的理由； (3)仿照(2)中的结论，讨论当，，┅，为实数时， 函数＝++┅+∈R，＜＜┅＜∈R的最值． 解：(1)图略； (2)当∈(－∞，－3)时，是减函数， 当∈－3，1)时，是减函数， 当∈1，+∞)时，是增函数， ∴＝，＝4． (3)当++┅+＜0时，＝，，┅，； 当++┅+＞0时，＝，，┅，； 当++┅+＝0时，＝，， ＝，．

61、在4×□+9×□=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上　　　　　 和　　　　　 　。 答案：设两数为x、y，即4x+9y=60，又=　≥，等于当且仅当，且4x+9y=60，即x=6且y=4时成立，故应分别有6、4。

62、我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为斜坐标系．平面上任意一点P的斜坐标定义为：若(其中、分别为斜坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，x、y∈R)，则点P的斜坐标为(x, y).在平面斜坐标系xoy中，若，已知点M的斜坐标为 (1, 2)，则点M到原点O的距离为　　　　　 .

63、定义运算符号：“”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n记作，，其中ai为数列中的第i项. ①若，则T4=　　　　　 ；105； ②若　　　　　　　　 .