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52、如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差． (1)设数列
是公方差为
的等方差数列，求
和
的关系式；
(2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列；
(3) 设数列是首项为
，公方差为的等方差数列，若将
这种顺序的排列作为某种密码，求这种密码的个数．
(1)解：由等方差数列的定义可知：
………………5分(2)证法一：∵
是等差数列，设公差为
，则
又是等方差数列，∴
………………………………7分
∴ 
即
， …………………………………10分
∴
，即是常数列．…………………………………………………11分
证法二：∵是等差数列，设公差为，则
……1
又是等方差数列，设公方差为，则……2…………7分
1代入2得，
……3
同理有，
……4
两式相减得：即
，…………………………………10分
∴，即是常数列．………………………………………………11分证法三：(接证法二1、2)
由1、2得出：若
，则是常数列 …………………8分若
， 则
是常数,
∴，矛盾…………10分∴
是常数列．
…………………11分
(3)依题意，
，
，
∴
，或
， ……………………………13分
即该密码的第一个数确定的方法数是
，其余每个数都有“正”或“负”两种确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是
种，
故，这种密码共
种．…………………………………………………16分 - 题目来源：高中数学新题型选编(共70个题)(一)