参考答案

一．选择题

3. 交点的个数个数等于在x、y各取两点构成的四边形的个数

二.填空题

11. (1，0)

12. ①③

13. a＜b

14. 3

15. 　

三.解答题

16. (1)由题意得：a+b＝(cos α+cos β，sin α+sin β) a－b＝(cos α－cos β， sin α－sin β)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分 ∴(a+b).(a－b)＝(cos α+cos β)(cos α－cos β)+(sin α+sin β)(sin α－sin β) ＝cos²α－cos²β+sin²α－sin²β＝1－1＝0 ∴a+b 与a－b互相垂直．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

(2) 方法一：ka+b＝(kcos α+cos β，ksin α+sin β)， a－kb＝(cos α－kcos β， sin α－ksin β)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分 | ka+b |＝，| a－kb |＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9分 由题意，得4cos (β－α)＝0，因为0＜α＜β＜π ，所以β－α＝．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

方法二：由| ka+b |＝| a－kb |得：| ka+b |²＝| a－kb |² 即(ka+b )²＝( a－kb )²，k²| a |²+2ka×b+| b |²＝| a |²－2ka×b+k²| b |²　 8分 由于| a |＝1，| b |＝1 ∴k²+2ka×b+1＝1－2ka×b+k²，故a×b＝0， 即(cos，sin)× (cos，sin)＝0 10分 Þ　 因为0＜α＜β＜π ，所以β－α＝．　　　　　 12分

17. (I)0.514　　 (II)0.224

18. (Ⅰ)证明：在Rt△ABC中，∠C=30°，D为AC的中点，则△ABD是等边三角形

又E是BD的中点，∵BD⊥AE，BD⊥EF，折起后，AE∩EF=E，∴BD⊥面AEF

∵BD面BCD，∴面AEF⊥面BCD　　　　

(Ⅱ)解：过A作AP⊥面BCD于P，则P在FE的延长线上，设BP与CD相交于Q，

令AB=1，则△ABD是边长为1的等边三角形，若AB⊥CD，则BQ⊥CD

由于∠AEF=θ就是二面角A-BD-C的平面角，

19. 设,则f(t)的顶点横坐标为,属于,故f(t)在上是减函数,在为增函数,所以最小值在达到,为,当时达到最小值,该函数没有最大值

20. (1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.

假设存在点C(－1，y)，使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.

(ii)解法一：设C(－1，y)使△ABC成钝角三角形，

，

，

∠CAB为钝角.

.　　

该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是:

.

解法二： 以AB为直径的圆的方程为:

.

当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G 点不重合，且A，

B，C三点不共线时， ∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角.

因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.

.

.

A，B，C三点共 线，不构成三角形.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是：

21. (1)设P(x,y)是y=f(x)的图象上任意一点，

关于(0.5，－0.5)对称点的坐标为:(1-x,-1-y)

∴－1-y＝f(1－x)，即函数y＝f(x)的图象关于点(0.5，－0.5)对称.

(2)由(Ⅰ)有f(1-x)=-1-f(x)即f(x)+f(1-x)= -1

∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)= -1

则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3　　

下面用数学归纳法证明

当n=1时，左＝3，右＝1，3＞1不等式成立

当n=2时，左＝9，右＝4，9＞4不等式成立

令n=k(k≥2)不等式成立即3k＞k2

则n＝k+1时，左＝3k+1＝3.3k＞3.k2

右＝(k+1)2＝k2+2k+1

∵3k2－(k2+2k+1)＝2k2－2k－1＝2(k－0.5)2－1.5

当k≥2，k∈N时，上式恒为正值

则左＞右，即3k+1＞(k+1)2，所以对任何自然数n，总有3n＞n2成立，即对任何自然数n，总有bn＞n2成立