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9．.(全国II)如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′＝

(A)2∶1　　 (B)3∶1　　 (C)3∶2　　　 (D)4∶3

解析:连接,设AB=a,可得AB与平面所成的角为

,在,同理可得AB与平面所成的角为,所以,因此在,所以,故选A

[典型考例]

例1．(P₇₅例3)　 如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱　　 (I)证明平面　　　 (II)设证明平面

(19)本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。满分12分。

　　　 (I)证明：取CD中点M，连结OM。

　　　 在矩形ABCD中，

　　　 又

　　　 则连结EM，于是

　　　 四边形EFOM为平行四边形。

　　　 又平面CDE，且平面CDE，平面CDE。

　　　 (II)证明：连结FM。由(I)和已知条件，在等边中，

　　　 且

　　　 因此平行四边形EFOM为菱形，从而。

　　　 平面EOM，从而

　　　 而所以平面

例2．　　 如图, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，AB=5点D是AB的中点，　 (I)求证：AC⊥BC₁；　 (II)求证：AC ₁//平面CDB₁；　 (III)设BD₁的中点为F，求三棱锥B₁-BEF的体积

证：(I)直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC₁；

(II)设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC₁的中点，∴ DE//AC₁，

∵ DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，∴ AC₁//平面CDB₁；

例2．已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO₁折成直二面角

　(Ⅰ)证明：AC⊥BO₁；

(Ⅱ)求点O₁到平面AOC的距离。

(III)求四面体O₁-ACO的体积。

(I)证明 由题设知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁.

　　　 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

　　　 即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO₁

 所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

　　　 如图3，则相关各点的坐标是A(3，0，0)，

　　　 B(0，3，0)，C(0，1，)O₁(0，0，).

从而

　　　 所以AC⊥BO₁.

例3.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求证：平面；

(Ⅲ)求四面体B-AED的体积。

解：(1)由平面可得PA^AC

又，所以AC^平面PAB，所以

(2)如图，连BD交AC于点O，连EO，则

EO是△PDB的中位线，\EOPB

\PB平面

(3)如图，取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，\EFPA又平面，\EF^平面

同理FO是△ADC的中位线，\FOAB\FO^AC由三垂线定理可知\ÐEOF是二面角E－AC－D的平面角.又FO＝AB＝PA＝EF\ÐEOF＝45°而二面角与二面角E－AC－D互补，故所求二面角的大小为135°.

例4．如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC₁上的点。(Ⅰ)当B₁M⊥AN时，求CN的长度；(Ⅱ)若CN=时，求点B₁到平面AMN的距离。