难点23　 求圆锥曲线方程 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法. ●难点磁场 1.()双曲线=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_________. 参考答案

参考答案

难点磁场

1.解析：设F₁(－c,0)、F₂(c,0)、P(x,y),则

|PF₁|²+|PF₂|²=2(|PO|²+|F₁O|²)＜2(5²+c²),

即|PF₁|²+|PF₂|²＜50+2c²,

又∵|PF₁|²+|PF₂|²=(|PF₁|－|PF₂|)²+2|PF₁|.|PF₂|,

依双曲线定义，有|PF₁|－|PF₂|=4,

依已知条件有|PF₁|.|PF₂|=|F₁F₂|²=4c²

∴16+8c²＜50+2c²,∴c²＜,

又∵c²=4+b²＜,∴b²＜,∴b²=1.

答案：1

2.解法一：设所求圆的圆心为P(a,b)，半径为r,则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|

∵圆P截y轴所得弦长为2，∴r²=a²+1

又由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,故弦长|AB|=r,故r²=2b²,从而有2b²－a²=1

又∵点P(a,b)到直线x－2y=0的距离d=,

因此，5d²=|a－2b|²=a²+4b²－4ab≥a²+4b²－2(a²+b²)=2b²－a²=1,

当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d²=1,从而d取最小值，为此有,

∵r²=2b², ∴r²=2

于是所求圆的方程为：(x－1)²+(y－1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2

解法二：设所求圆P的方程为(x－a)²+(y－b)²=r²(r＞0)

设A(0,y₁),B(0,y₂)是圆与y轴的两个交点，则y₁、y₂是方程a²+(y－b)²=r²的两根，

∴y_1，2=b±

由条件①得|AB|=2，而|AB|=|y₁－y₂|,得r²－a²=1

设点C(x₁,0)、D(x₂,0)为圆与x轴的两个交点，则x₁,x₂是方程(x－a)²+b²=r²的两个根，

∴x_1，2=a±

由条件②得|CD|=r,又由|CD|=|x₂－x₁|，得2b²=r²,故2b²=a²+1

设圆心P(a,b)到直线x－2y=0的距离为d=

∴a－2b=±d,得a²=(2b±d)²=4b²±4bd+5d²

又∵a²=2b²－1,故有2b²±4bd+5d²+1=0.把上式看作b的二次方程，

∵方程有实根.

∴Δ=8(5d²－1)≥0,得5d²≥1.

∴d_min=,将其代入2b²±4bd+5d²+1=0,

得2b²±4b+2=0,解得b=±1.

从而r²=2b²=2,a=±=±1

于是所求圆的方程为(x－1)²+(y－1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2

歼灭难点训练

一、1.解析：将直线方程变为x=3－2y,代入圆的方程x²+y²+x－6y+m=0,

得(3－2y)²+y²+(3－2y)+m=0.

整理得5y²－20y+12+m=0,设P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)

则y₁y₂=,y₁+y₂=4.

又∵P、Q在直线x=3－2y上，

∴x₁x₂=(3－2y₁)(3－2y₂)=4y₁y₂－6(y₁+y₂)+9

故y₁y₂+x₁x₂=5y₁y₂－6(y₁+y₂)+9=m－3=0，故m=3.

答案：A

2.解析：由题意，可设椭圆方程为：　=1,且a²=50+b²,

即方程为=1.

将直线3x－y－2=0代入，整理成关于x的二次方程.

由x₁+x₂=1可求得b²=25,a²=75.

答案：C

二、3.解析：所求椭圆的焦点为F₁(－1,0),F₂(1,0),2a=|PF₁|+|PF₂|.

欲使2a最小，只需在直线l上找一点P.使|PF₁|+|PF₂|最小，利用对称性可解.

答案：　=1

4.解析：设所求圆的方程为(x－a)²+(y－b)²=r²

则有　

由此可写所求圆的方程.

答案：x²+y²－2x－12=0或x²+y²－10x－8y+4=0

三、5.解：|MF|_max=a+c,|MF|_min=a－c,则(a+c)(a－c)=a²－c²=b²,

∴b²=4,设椭圆方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

设过M₁和M₂的直线方程为y=－x+m　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

将②代入①得：(4+a²)x²－2a²mx+a²m²－4a²=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

设M₁(x₁,y₁)、M₂(x₂,y₂),M₁M₂的中点为(x₀,y₀),

则x₀=　(x₁+x₂)=,y₀=－x₀+m=.

代入y=x,得,

由于a²＞4,∴m=0,∴由③知x₁+x₂=0,x₁x₂=－,

又|M₁M₂|=,

代入x₁+x₂,x₁x₂可解a²=5,故所求椭圆方程为：　=1.

6.解：以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，

如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为(－10，－4)、(10，－4)

设抛物线方程为x²=－2py,将A点坐标代入，得100=－2p×(－4),解得p=12.5,

于是抛物线方程为x²=－25y.

由题意知E点坐标为(2，－4)，E′点横坐标也为2，将2代入得y=－0.16,从而|EE′|=

(－0.16)－(－4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.

7.解：由e=,可设椭圆方程为=1,

又设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则x₁+x₂=4,y₁+y₂=2,

又=1,两式相减，得=0,

即(x₁+x₂)(x₁－x₂)+2(y₁+y₂)(y₁－y₂)=0.

化简得=－1,故直线AB的方程为y=－x+3,

代入椭圆方程得3x²－12x+18－2b²=0.

有Δ=24b²－72＞0,又|AB|=,

得，解得b²=8.

故所求椭圆方程为=1.