难点23  求圆锥曲线方程 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法. ●难点磁场 1.()双曲线=1(b∈N)的两个焦点F1、F2,P为双曲线上一点,|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则b2=_________.
  • 1.()已知直线x+2y-3=0与圆x2+y2+x-6y+m=0相交于PQ两点,O为坐标原点,若OPOQ,则m等于(   )

    A.3                B.-3              C.1            D.-1

  • 2.()中心在原点,焦点在坐标为(0,±5)的椭圆被直线3xy-2=0截得的弦的中点的横坐标为,则椭圆方程为(   )

  • 3.()直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P,若过点P且以双曲线12x2-4y2=3的焦点作椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为_________.

  • 4.()已知圆过点P(4,-2)、Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,则该圆的方程为_________.

  • 5.()已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个焦点为FM是椭圆上的任意点,|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2,椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1M2,且|M1M2|=,试求椭圆的方程.

  • 6.()某抛物线形拱桥跨度是20米,拱高4米,在建桥时每隔4米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱的长.

  • 7.()已知圆C1的方程为(x-2)2+(y-1)2=,椭圆C2的方程为=1(ab>0),C2的离心率为,如果C1C2相交于AB两点,且线段AB恰为圆C1的直径,求直线AB的方程和椭圆C2的方程.

难点23  求圆锥曲线方程 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法. ●难点磁场 1.()双曲线=1(b∈N)的两个焦点F1、F2,P为双曲线上一点,|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则b2=_________. 参考答案

参考答案

难点磁场

1.解析:设F1(-c,0)、F2(c,0)、P(x,y),则

|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)<2(52+c2),

即|PF1|2+|PF2|2<50+2c2,

又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|.|PF2|,

依双曲线定义,有|PF1|-|PF2|=4,

依已知条件有|PF1|.|PF2|=|F1F2|2=4c2

∴16+8c2<50+2c2,∴c2,

又∵c2=4+b2,∴b2,∴b2=1.

答案:1

2.解法一:设所求圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点Px轴、y轴的距离分别为|b|、|a|

∵圆Py轴所得弦长为2,∴r2=a2+1

又由题设知圆Px轴所得劣弧对的圆心角为90°,故弦长|AB|=r,故r2=2b2,从而有2b2a2=1

又∵点P(a,b)到直线x-2y=0的距离d=,

因此,5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4aba2+4b2-2(a2+b2)=2b2a2=1,

当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取最小值,为此有,

r2=2b2, ∴r2=2

于是所求圆的方程为:(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2

解法二:设所求圆P的方程为(xa)2+(yb)2=r2(r>0)

A(0,y1),B(0,y2)是圆与y轴的两个交点,则y1y2是方程a2+(yb)2=r2的两根,

y12=b±

由条件①得|AB|=2,而|AB|=|y1y2|,得r2a2=1

设点C(x1,0)、D(x2,0)为圆与x轴的两个交点,则x1,x2是方程(xa)2+b2=r2的两个根,

x12=a±

由条件②得|CD|=r,又由|CD|=|x2x1|,得2b2=r2,故2b2=a2+1

设圆心P(a,b)到直线x-2y=0的距离为d=

a-2bd,得a2=(2b±d)2=4b2±4bd+5d2

又∵a2=2b2-1,故有2b2±4bd+5d2+1=0.把上式看作b的二次方程,

∵方程有实根.

Δ=8(5d2-1)≥0,得5d2≥1.

dmin=,将其代入2b2±4bd+5d2+1=0,

得2b2±4b+2=0,解得b=±1.

从而r2=2b2=2,a=±1

于是所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2

歼灭难点训练

一、1.解析:将直线方程变为x=3-2y,代入圆的方程x2+y2+x-6y+m=0,

得(3-2y)2+y2+(3-2y)+m=0.

整理得5y2-20y+12+m=0,设P(x1,y1)、Q(x2,y2)

y1y2=,y1+y2=4.

又∵PQ在直线x=3-2y上,

x1x2=(3-2y1)(3-2y2)=4y1y2-6(y1+y2)+9

y1y2+x1x2=5y1y2-6(y1+y2)+9=m-3=0,故m=3.

答案:A

2.解析:由题意,可设椭圆方程为: =1,且a2=50+b2,

即方程为=1.

将直线3xy-2=0代入,整理成关于x的二次方程.

x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.

答案:C

二、3.解析:所求椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|.

欲使2a最小,只需在直线l上找一点P.使|PF1|+|PF2|最小,利用对称性可解.

答案: =1

4.解析:设所求圆的方程为(xa)2+(yb)2=r2

则有 

由此可写所求圆的方程.

答案:x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0

三、5.解:|MF|max=a+c,|MF|min=ac,则(a+c)(ac)=a2c2=b2,

b2=4,设椭圆方程为                                                                    ①

设过M1M2的直线方程为y=-x+m                                                              

将②代入①得:(4+a2)x2-2a2mx+a2m2-4a2=0                                                  ③

M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中点为(x0,y0),

x0= (x1+x2)=,y0=-x0+m=.

代入y=x,得,

由于a2>4,∴m=0,∴由③知x1+x2=0,x1x2=-,

又|M1M2|=,

代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求椭圆方程为: =1.

6.解:以拱顶为原点,水平线为x轴,建立坐标系,

如图,由题意知,|AB|=20,|OM|=4,AB坐标分别为(-10,-4)、(10,-4)

设抛物线方程为x2=-2py,将A点坐标代入,得100=-2p×(-4),解得p=12.5,

于是抛物线方程为x2=-25y.

由题意知E点坐标为(2,-4),E′点横坐标也为2,将2代入得y=-0.16,从而|EE′|=

(-0.16)-(-4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.

7.解:由e=,可设椭圆方程为=1,

又设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2,

=1,两式相减,得=0,

即(x1+x2)(x1x2)+2(y1+y2)(y1y2)=0.

化简得=-1,故直线AB的方程为y=-x+3,

代入椭圆方程得3x2-12x+18-2b2=0.

Δ=24b2-72>0,又|AB|=,

,解得b2=8.

故所求椭圆方程为=1.

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