难点33 函数的连续及其应用
函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系.
●难点磁场
()已知函数f(x)=
(1)讨论f(x)在点x=－1,0,1处的连续性；
(2)求f(x)的连续区间.
●案例探究
［例1］已知函数f(x)=,
(1)求f(x)的定义域，并作出函数的图象；
(2)求f(x)的不连续点x0;
(3)对f(x)补充
-
1.()若f(x)=
在点x=0处连续，则f(0)等于( )A.
B.
C.1 D.0 -
2.()设f(x)=
则f(x)的连续区间为( )A.(0，2) B.(0，1)
C.(0，1)∪(1，2) D.(1，2)
-
3.()
=_________. -
4.()若f(x)=
处处连续，则a的值为_________. -
5.()已知函数f(x)=
(1)f(x)在x=0处是否连续？说明理由；
(2)讨论f(x)在闭区间［－1,0］和［0,1］上的连续性.
-
6.()已知f(x)=
(1)求f(－x);
(2)求常数a的值，使f(x)在区间(－∞,+∞)内处处连续.
-
7.()求证任何一个实系数一元三次方程a0x3+a1x2+a2x+a3=0(a0,a1,a2,a3∈R,a0≠0)至少有一个实数根.
-
8.()求函数f(x)=
的不连续点和连续区间.
难点33 函数的连续及其应用 函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系. ●难点磁场 ()已知函数f(x)= (1)讨论f(x)在点x=－1,0,1处的连续性； (2)求f(x)的连续区间. ●案例探究 ［例1］已知函数f(x)=, (1)求f(x)的定义域，并作出函数的图象； (2)求f(x)的不连续点x0; (3)对f(x)补充参考答案
参考答案
难点磁场
解：(1)
f(x)=3, 
f(x)=－1,所以
f(x)不存在，所以f(x)在x=－1处不连续，
但f(x)=f(－1)=－1, f(x)≠f(－1),所以f(x)在x=－1处右连续，左不连续
f(x)=3=f(1), 
f(x)不存在，所以
f(x)不存在，所以f(x)在x=1不连续，但左连续，右不连续.
又
f(x)=f(0)=0,所以f(x)在x=0处连续.
(2)f(x)中，区间(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三个函数都是初等函数，因此f(x)除不连续点x=±1外，再也无不连续点，所以f(x)的连续区间是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5
.
歼灭难点训练
一、1.解析：
答案：A
2.解析：
即f(x)在x=1点不连续，显知f(x)在(0,1)和(1,2)连续.
答案：C
二、3.解析：利用函数的连续性，即
,
答案：
答案：
三、5.解：f(x)=
(1) 
f(x)=－1, 
f(x)=1,所以f(x)不存在，故f(x)在x=0处不连续.
(2)f(x)在(－∞,+∞)上除x=0外，再无间断点，由(1)知f(x)在x=0处右连续，所以f(x)在［
－1，0］上是不连续函数，在［0,1］上是连续函数.
6.解：(1)f(－x)=
(2)要使f(x)在(－∞,+∞)内处处连续，只要f(x)在x=0连续，
f(x)
= 
=
f(x)=(a+bx)=a,因为要f(x)在x=0处连续，只要 f(x)= f(x)
= f(x)=f(0),所以a=
7.证明：设f(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3,函数f(x)在(－∞,+∞)连续，且x→+∞时，f(x)→+∞;x→－∞时，f(x)→－∞,所以必存在a∈(－∞,+∞),b∈(－∞,+∞),使f(a).f(b)＜0,所以f(x)的图象至少在(a,b)上穿过x轴一次，即f(x)=0至少有一实根.
8.解：不连续点是x=1,连续区间是(－∞,1),(1,+∞)