难点16 三角函数式的化简与求值
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.
●难点磁场
()已知＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值_________.
●案例探究
［例1］不查表求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值.
命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高
-
1.()已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈
(－
)，则tan
的值是( )A.
B.－2
C.
D.
或－2 -
2.()已知sinα=
，α∈(
，π)，tan(π－β)= ，则tan(α－2β)=_________. -
3.()设α∈(
)，β∈(0，
)，cos(α－)=，sin(
+β)=
，则sin(α+β)=_________. -
4.不查表求值:
-
5.已知cos(
+x)=，(
＜x＜
)，求
的值. -
6.()已知α－β=
π，且α≠kπ(k∈Z).求
的最大值及最大值时的条件. -
7.
()如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积. -
8.()已知cosα+sinβ=
，sinα+cosβ的取值范围是D，x∈D，求函数y=
的最小值，并求取得最小值时x
难点16 三角函数式的化简与求值 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. ●难点磁场 ()已知＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值_________. ●案例探究 ［例1］不查表求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值. 命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高参考答案
的值.
参考答案
难点磁场
解法一：∵
＜β＜α＜
,∴0＜α－β＜
.π＜α+β＜,
∴sin(α－β)=
∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］
=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)
解法二：∵sin(α－β)=,cos(α+β)=－
,
∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－
sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－
∴sin2α=
歼灭难点训练
一、1.解析：∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0.
tanα+tanβ=3a+1＞0,又α、β∈(－,)∴α、β∈(－,θ),则∈(－,0),又tan(α+β)=
,
整理得2tan2
=0.解得tan
=－2.
答案：B
2.解析：∵sinα=,α∈(,π),∴cosα=－
则tanα=－
,又tan(π－β)=可得tanβ=－,
答案：
3.解析：α∈(
),α－∈(0, ),又cos(α－)=.
答案：
三、4.答案：2
(k∈Z),
(k∈Z)
∴当
即
(k∈Z)时,
的最小值为－1.
7.解：以OA为x轴.O为原点，建立平面直角坐标系，并设P的坐标为(cosθ,sinθ)，则
｜PS｜=sinθ.直线OB的方程为y=x，直线PQ的方程为y=sinθ.联立解之得Q(
sinθ；sinθ)，所以｜PQ｜=cosθ－sinθ.
于是SPQRS=sinθ(cosθ－sinθ)=(sinθcosθ－sin2θ)=(
sin2θ－
)=(sin2θ+cos2θ－)= sin(2θ+
)－
.
∵0＜θ＜
,∴＜2θ+＜
π.∴＜sin(2θ+)≤1.
∴sin(2θ+)=1时，PQRS面积最大，且最大面积是，此时，θ=，点P为
的中点，P(
).
8.解：设u=sinα+cosβ.则u2+()2=(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u2≤1,－1≤u≤1.即D=［－1,1］,设t=
,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤
.x=
.
