高中毕业春季招生考试数学卷
数 学 试 卷
-
1. 计算：
. -
2. 方程
的解
. -
3. 函数
的反函数
. -
4. 不等式
的解集是
. -
5. 已知圆
和直线
. 若圆
与直线
没有公共点，则
的取值范围是
. -
6. 已知函数
是定义在
上的偶函数. 当
时，
，则当
时，
. -
7. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首
尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式(结果用数值表示).
-
8. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 .
-
9. 在△
中，已知
，三角形面积为12，则
. -
10. 若向量
的夹角为
，
，则
. -
11. 已知直线
过点
，且与
轴、
轴的正半轴分别交于
两点，
为坐标原点，则三角形
面积的最小值为 . -
12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；
反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语
言描述为：若有限数列
满足
，则
(结论用数学式子表示).
-
13. 抛物线
的焦点坐标为( )(A)
. (B)
.
(C)
.
(D)
. -
14. 若
，则下列不等式成立的是( ) (A)
.
(B)
.
(C)
.(D)
. -
15. 若
，则“
”是“方程
表示双曲线”的( )(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件.
(C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.
-
16. 若集合
，则A∩B等于( )(A)
. (B)
.
(C)
.
(D)
. -
17. (本题满分12分)在长方体
中，已知
，求异面直线
与
所成角的大小(结果用反三角函数值表示). -
18. (本题满分12分) 已知复数
满足
为虚数单位)，
，求一个以
为根的实系数一元二次方程. -
19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
已知函数
.(1)若
，求函数的值； (2)求函数的值域. -
20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为
，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴、
为顶点的抛物线的实线部分，降落点为
. 观测点
同时跟踪航天器.
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在
轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？ -
21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
设函数
.(1)在区间
上画出函数的图像；(2)设集合
. 试判断集合
和
之间的关系，并给出证明；(3)当
时，求证：在区间
上，
的图像位于函数图像的上方.
-
22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 第3小题满分6分.
已知数列
，其中
是首项为1，公差为1的等差数列；
是公差为
的等差数列；
是公差为
的等差数列(
).(1)若
，求；(2)试写出
关于的关系式，并求的取值范围；(3)续写已知数列，使得
是公差为
的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？ 高中毕业春季招生考试数学卷
高中毕业春季招生考试数学卷 数 学 试 卷参考答案
数 学 试 卷
参考答案及评分标准
一．(第1至12题)每一题正确的给4分，否则一律得零分.
1. 
.
2. 2. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6.
. 7. 48. 8. 
.
9. 
. 10.
2. 11. 4.
12. 
和
二．(第13至16题)每一题正确的给4分，否则一律得零分.
|
题 号 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
代 号 |
B |
C |
A |
B |
三．(第17至22题)
17. [解法一] 连接
，
为异面直线与所成的角. ……4分
连接
，在△
中，
，
……6分
则
. ……10分
异面直线与所成角的大小为
.
……12分
[解法二] 以
为坐标原点，分别以
、
、
所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.
……2分
则 
，
得 
.
……6分
设
与
的夹角为
，
则
， ……10分
与的夹角大小为，
即异面直线与所成角的大小为.
……12分
18. [解法一] 
，
……4分
.
……8分
若实系数一元二次方程有虚根
，则必有共轭虚根
.
，
所求的一个一元二次方程可以是
.
……12分
[解法二] 设
，
得 
，
……4分
以下解法同[解法一].
19. [解](1)
，
……2分
……4分
.
……8分
(2)
，
……10分
， 
， 
，
函数的值域为
.
……14分
20. [解](1)设曲线方程为
， 由题意可知，
.
. ……4分
曲线方程为
.
……6分
(2)设变轨点为
，根据题意可知
得 
，
或
(不合题意，舍去).
.
……9分
得 
或
(不合题意，舍去). 
点的坐标为
，
……11分
.
答：当观测点测得
距离分别为
时，应向航天器发出变轨指令.
……14分
21. [解](1)
……4分
(2)方程
的解分别是
和
，由于在
和
上单调递减，在
和
上单调递增，因此
.
……8分
由于
.
……10分
(3)[解法一] 当
时，
.
，
……12分
. 又
，
① 当
，即
时，取
，
.
，
则
.
……14分
② 当
，即
时，取
， ＝
.
由 ①、②可知，当时，
，.
因此，在区间上，
的图像位于函数图像的上方. ……16分
[解法二] 当时，.
由
得
，
令 
，解得
或
，
……12分
在区间上，当时，
的图像与函数的图像只交于一点
； 当时，
的图像与函数的图像没有交点. ……14分
如图可知，由于直线过点
，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.
……16分
22. [解](1)
.
…… 4分
(2)
，
…… 8分
，
当
时，
.
…… 12分
(3)所给数列可推广为无穷数列
，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当
时，数列
是公差为
的等差数列.
…… 14分
研究的问题可以是：试写出
关于的关系式，并求的取值范围.…… 16分
研究的结论可以是：由
，
依次类推可得 
当
时，
的取值范围为
等.
…… 18分