23.(14分)已知倾斜角为的直线过点和点，其中在第一象限，且

(Ⅰ)求点的坐标；

(Ⅱ)若直线与双曲线相交于不同的两点，且线段的中点坐标为，求实数的值。

23． 解：(Ⅰ) 直线方程为，设点，　　　　　　

由　　　　　　　　　　　　　　　　　

及，得，

∴点的坐标为　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅱ)由得，　　　　　　　　　　　

设，则，得，　

此时，，∴　。　　　　　　　　　　　　 　　　　　

22．(本小题满分14分)已知椭圆C的方程为，双曲线的两条渐近线为，过椭圆C的右焦点F的直线,又与交于P点，设与椭圆C的两个交点由上至下依次为A,B．

(1)　 当与夹角为且时，求椭圆C的方程．

(2)　 求的最大值．

22．解：(1)　　故　　(6分)

(2)联立得(8分)

设A分的比为，则A

代入，整理化简得：　 (12分)

即的最大值为

(18)本小题满分14分

　　　

　　　

　　　

　　　

圆中，求面积最小的圆的半径长。

(18)解：………………1分

　　　

　　　 ………………3分

　　　 ………………4分

　　　

　　　 …………6分

　　　

　　　 ………………7分

　　　

　　　　　　　　

　　　　　　　　 ………………11分

　　　

　　　 ………………12分

　　　 (III)面积最小的圆的半径应是点F到直线l的距离，设为r………………13分

　　　 ………………14分

　　　

　　　　　　　　　

　　　　　　　　　

　　　　　　　　　

　　　

　　　

　　　

22. 已知ΔOFQ的面积为2,且.=m .

(1)设＜m＜4,求向量与的夹角θ正切值的取值范围；

(2)设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q(如图),||=c,m=(-1)c²,当||取得最小值时，求此双曲线的方程.(本题满分14分)

22.(1)∵,∴tanθ=.

　　　 又∵＜m＜4,∴1＜m＜4.………………………………6分

　 (2)设所求的双曲线方程为(a＞0,b＞0),Q(x₁,y₁),

　　　 则=(x₁-c,y₁),∴S_△OFQ= ||.|y₁|=2,∴y₁=±.

　　　 又由.=(c,0).(x₁-c,y₁)=(x₁-c)c=(-1)c²,∴x₁=c.…………8分

　　 ∴||==≥.

　　 当且仅当c=4时, ||最小,这时Q点的坐标为(,)或(,-).……12分

　　 　　∴,　 ∴.

故所求的双曲双曲线方程为

20．抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，如右图所示，今有抛物线，一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，反射后，又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线上的点N，再反射后又射回点M。

(1)设P、Q两点的坐标分别是，

证明：。

(2)求抛物线方程。(14分)

20．解(1)由抛物线的光学性质及题意知光线PQ必过抛物线的焦点，设，代入抛物线方程得：，　 (6分)

(2)设，由题意知，又设是点M关于直线l的对称点，则有：，，

由对称性质知，代入直线l的方程得(或利用到角公式得，求出)。由，则，又P，F，Q三点共线得P=2。抛物线方程为。(14分)