高考数学统一考试
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
参考公式：
如果事件互斥，那么
球的表面积公式
如果事件相互独立，那么
其中表示球的半径
-
(1)
是第四象限角，
，则
( )A．
B．
C．
D．
(2)设
是实数，且
是实数，则
( )A．
B．
C．
D．
(3)已知向量
，
，则
与
( )A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
(4)已知双曲线的离心率为
，焦点是
，
，则双曲线方程为( )A．
B．
C．
D．
(5)设
，集合
，则
( )A．
B．
C． D．
(6)下面给出的四个点中，到直线
的距离为
，且位于
表示的平面区域内的点是( )A．
B．
C．
D．
(7)如图，正四棱柱
中，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为( )A．
B．
C．
D．
(8)设
，函数
在区间
上的最大值与最小值之差为，则( )A．
B． C．
D．
(9)
，
是定义在
上的函数，
，则“，均为偶函数”是“
为偶函数”的( )A．充要条件 B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件
(10)
的展开式中，常数项为
，则
( )A．
B． C．
D．
(11)抛物线
的焦点为
，准线为
，经过且斜率为
的直线与抛物线在
轴上方的部分相交于点
，
，垂足为
，则
的面积是( )A．
B．
C．
D．
(12)函数
的一个单调增区间是( )A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷
-
(13)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．(用数字作答)
(14)函数
的图像与函数
的图像关于直线
对称，则
．(15)等比数列
的前
项和为
，已知
，
，
成等差数列，则的公比为 ．(16)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．
-
(17)(本小题满分10分)
设锐角三角形
的内角
的对边分别为
，
．(Ⅰ)求
的大小；(Ⅱ)求
的取值范围．(18)(本小题满分12分)
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数
的分布列为
1
2
3
4
5
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．
表示经销一件该商品的利润．(Ⅰ)求事件
：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率
；(Ⅱ)求
的分布列及期望
．(19)(本小题满分12分)
四棱锥
中，底面
为平行四边形，侧面
底面．已知
，
，
，
．(Ⅰ)证明
；(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的大小．(20)(本小题满分12分)
设函数
．(Ⅰ)证明：
的导数
；(Ⅱ)若对所有
都有
，求的取值范围．(21)(本小题满分12分)
已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
．过的直线交椭圆于
两点，过的直线交椭圆于
两点，且
，垂足为．(Ⅰ)设
点的坐标为
，证明：
；(Ⅱ)求四边形
的面积的最小值．(22)(本小题满分12分)
已知数列
中
，
，
．(Ⅰ)求
的通项公式；(Ⅱ)若数列
中
，
，，证明：
，．高考数学统一考试
高考数学统一考试 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 参考答案
理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案
一、选择题：
(1)D (2)B (3)A (4)A (5)C (6)C
(7)D (8)D (9)B (10)D (11)C (12)A
二、填空题：
(13)
(14)
(15)
(16)
三、解答题：
(17)解：
(Ⅰ)由，根据正弦定理得
，所以
，
由
为锐角三角形得
．
(Ⅱ)
．
由为锐角三角形知，
，
．
，
所以
．
由此有
，
所以，的取值范围为
．
(18)解：
(Ⅰ)由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．
知
表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
，
．
(Ⅱ)的可能取值为
元，
元，
元．
，
，
．
的分布列为
|
|
|
|
|
|
|
 |
|
 |
(元)．
(19)解法一：
(Ⅰ)作
，垂足为
，连结
，由侧面
底面，得
底面．
因为
，所以
，
又，故
为等腰直角三角形，
，
由三垂线定理，得
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，依题设
，
故
，由
，
，
，得
，
．
的面积
．
连结
，得
的面积
设
到平面的距离为
，由于
，得
，
解得
．
设与平面所成角为，则
．
所以，直线与平面
所成的我为
．
解法二：
(Ⅰ)作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．
因为，所以．
又，为等腰直角三角形，
．
如图，以为坐标原点，
为轴正向，建立直角坐标系
，
，
，
，
，
，
，
，所以．
(Ⅱ)取
中点
，
，
连结
，取中点
，连结
，
．
，
，
．
，
，与平面内两条相交直线，垂直．
所以
平面，
与
的夹角记为，与平面所成的角记为
，则与互余．
，
．
，
，
所以，直线与平面所成的角为．
(20)解：
(Ⅰ)的导数
．
由于
，故．
(当且仅当
时，等号成立)．
(Ⅱ)令
，则
，
(ⅰ)若
，当
时，
，
故在
上为增函数，
所以，时，
，即．
(ⅱ)若
，方程
的正根为
，
此时，若
，则
，故在该区间为减函数．
所以，时，
，即
，与题设相矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是
．
(21)证明：
(Ⅰ)椭圆的半焦距
，
由
知点在以线段
为直径的圆上，故
，
所以，
．
(Ⅱ)(ⅰ)当
的斜率
存在且
时，的方程为
，代入椭圆方程，并化简得
．
设
，
，则
，
；
因为
与
相交于点，且的斜率为
，
所以，
．
四边形的面积
．
当
时，上式取等号．
(ⅱ)当的斜率
或斜率不存在时，四边形的面积
．
综上，四边形的面积的最小值为
．
(22)解：
(Ⅰ)由题设：
，
．
所以，数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
，
即
的通项公式为
，．
(Ⅱ)用数学归纳法证明．
(ⅰ)当
时，因
，
，所以
，结论成立．
(ⅱ)假设当
时，结论成立，即
，
也即
．
当
时，
，
又
，
所以 
．
也就是说，当时，结论成立．
根据(ⅰ)和(ⅱ)知，．