高考数学统一考试
理科数学(必修+选修Ⅱ)
第Ⅰ卷(选择题)
本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件互斥，那么
球的表面积公式
如果事件相互独立，那么
其中表示球的半径
-
1．
( )A．
B．
C．
D．
-
2．函数
的一个单调增区间是( )A．
B．
C．
D．
-
3．设复数
满足
，则
( )A．
B．
C．
D．
-
4．下列四个数中最大的是( )
A．
B．
C．
D．
-
5．在
中，已知
是
边上一点，若
，则
( )A．
B．
C．
D．
-
6．不等式
的解集是( )A．
B．
C．
D．
-
7．已知正三棱柱
的侧棱长与底面边长相等，则
与侧面
所成角的正弦值等于( )A．
B．
C．
D． -
8．已知曲线
的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )A．3 B．2 C．1 D．
-
9．把函数
的图像按向量
平移，得到
的图像，则
( )A．
B．
C．
D．
-
10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有( )
A．40种 B．60种 C．100种 D．120种
-
11．设
分别是双曲线
的左、右焦点，若双曲线上存在点
，使
且
，则双曲线的离心率为( )A．
B．
C．
D．
-
12．设
为抛物线
的焦点，
为该抛物线上三点，若
，则
( )A．9 B．6 C．4 D．3
第Ⅱ卷(非选择题)
本卷共10题，共90分
-
13．
的展开式中常数项为 ．(用数字作答) -
14．在某项测量中，测量结果
服从正态分布
．若在
内取值的概率为0.4，则在
内取值的概率为
． -
15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm
． -
16．已知数列的通项
，其前
项和为
，则
． -
17．(本小题满分10分)
在
中，已知内角
，边
．设内角
，周长为
．(1)求函数
的解析式和定义域；(2)求
的最大值． -
18．(本小题满分12分)
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件
：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率
．(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率
；
(2)若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列． -
19．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，侧棱
底面
分别为
的中点．(1)证明
平面
；(2)设
，求二面角
的大小． -
20．(本小题满分12分)
在直角坐标系
中，以
为圆心的圆与直线
相切．(1)求圆
的方程；(2)圆
与
轴相交于
两点，圆内的动点
使
成等比数列，求
的取值范围． -
21．(本小题满分12分)
设数列
的首项
．(1)求
的通项公式；(2)设
，证明
，其中为正整数． -
22．(本小题满分12分)
已知函数
．(1)求曲线
在点
处的切线方程；(2)设
，如果过点
可作曲线的三条切线，证明：
．
高考数学统一考试 理科数学(必修+选修Ⅱ) 第Ⅰ卷(选择题) 本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 参考答案
理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案
评分说明：
1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题
1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C
7．A 8．A 9．C 10．B 11．B 12．B
二、填空题
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．解：(1)的内角和
，由
得
．
应用正弦定理，知
，
．
因为
，
所以
，
(2)因为
，
所以，当
，即
时，取得最大值
．
18．解：(1)记
表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．
则
互斥，且
，故
于是
．
解得
(舍去)．
(2)的可能取值为
．
若该批产品共100件，由(1)知其二等品有
件，故
．
．
．
所以的分布列为
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
 |
 |
 |
19．解法一：
(1)作
交
于点
，则为的中点．
连结
，又
，
故
为平行四边形．
，又
平面
平面．
所以平面．
(2)不妨设
，则
为等
腰直角三角形．
取
中点
，连结
，则
．
又
平面，所以
，而
，
所以
面
．
取
中点
，连结
，则
．
连结
，则
．
故
为二面角的平面角
．
所以二面角的大小为
．
解法二：(1)如图，建立空间直角坐标系
．
设
，则
，
．
取的中点
，则
．
平面平面，
所以平面．
(2)不妨设
，则
．
中点
又
，
，
所以向量
和
的夹角等于二面角的平面角．
．
所以二面角的大小为
．
20．解：(1)依题设，圆的半径
等于原点到直线的距离，
即 
．
得圆的方程为
．
(2)不妨设
．由
即得
．
设
，由成等比数列，得
，
即 
．
由于点在圆内，故
由此得
．
所以的取值范围为
．
21．解：(1)由
整理得 
．
又
，所以
是首项为
，公比为的等比数列，得
(2)方法一：
由(1)可知
，故
．
那么，
又由(1)知
且
，故
，
因此 
为正整数．
方法二：
由(1)可知
，
因为
，
所以 
．
由可得
，
即 
两边开平方得 
．
即 为正整数．
22．解：(1)求函数
的导数；
．
曲线在点处的切线方程为：
，
即 
．
(2)如果有一条切线过点，则存在
，使
．
于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程
有三个相异的实数根．
记 
，
则 
．
当变化时，
变化情况如下表：
|
|
 |
0 |
 |
 |
 |
 |
 |
0 |
 |
0 |
|
 |
 |
极大值 |
|
极小值 |
|
由的单调性，当极大值
或极小值
时，方程
最多有一个实数根；
当
时，解方程得
，即方程只有两个相异的实数根；
当
时，解方程得
，即方程只有两个相异的实数根．
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则
即 ．