直线方程及其应用

[教学要求]

1. 理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练求出直线方程。

2. 掌握两直线平行、垂直的条件；掌握两条直线所成角的公式和点到直线的距离公式。

3. 了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单应用。

(一)基本公式

　 1. 有向线段

　　 设P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)

　　

　　

　 　

　　

　　 P为内分点，λ＞0；P为外分点，λ＜0。

　　

　　

　　 例如：设△ABC，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(x₃，y₃)

　　

　　

　 2. 直线l的倾斜角α(直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角)

　　

　　

　　　　

　　

　　　　　　　　　

(二)直线方程

　 1. 直线方程：

　　 (1)点斜式：

　　　 y－y₀＝k(x－x₀)(已知：点P₀(x₀，y₀)，斜率k)

　　 (2)斜截式：

　　　 y＝kx+b(已知：斜率k及纵截距b)

　　 (3)两点式：

　　

　　 (4)截距式：

　　

　　 (5)一般式：

　　　 Ax+By+C＝0(A、B不同时为0)

　 2. 两条直线的位置关系：

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　　

　　

　　

　　 (5)夹角θ：按逆时针方向从l₁转到l₂所成的角，叫做l₁到l₂的角。

　　

　　 两条直线相交所成的锐角或直角，叫做两条直线的夹角θ。

　　　

　　　

　　

　　

　 3. 点到直线的距离公式：

　　 P(x₀，y₀)是已知点，l：Ax+By+C＝0是已知直线，则

　　

　 4. 对称点：

　　

　　

　　

　 5. 直线系方程：

　　 (1)过定点(x₁，y₁)的直线系方程：

　　

　　 (2)平行于直线Ax+By+C＝0的直线系方程：

　　

　　 (3)垂直于直线Ax+By+C＝0的直线系方程：

　　

　　

系方程：

　　

(三)简单的线性规划

　 1. 二元一次不等式表示平面区域

　　 一般地，二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C＝0某一侧所有点组成的平面区域。

　　 只需在此直线的某一侧取一特殊点(x₀，y₀)从Ax₀+By₀+C的正、负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的区域。(若C≠0时，可取原点(0，0))

　　

　　 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

　 2. 线性规划：

　 I. 基本概念：

　　 (1)线性约束条件：

　　　 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件。

　　 (2)目标函数：

　　

　　 线性目标函数：关于x，y的一次解析式。

　　 (3)可行解：满足线性约束条件的解(x，y)。

　　 (4)可行域：所有可行解组成的集合。

　　 (5)最优解：使目标函数达到最值的可行解。

　　 (6)线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大(小)值问题。

　 II. 用图解法解线性规划的步骤：

　　 (1)分析并将已知数据列出表格；

　　 (2)确定约束条件；

　　 (3)确定线性目标函数；

　　 (4)画出可行域；

　　 (5)利用线性目标函数，求出最优解；

　　 (6)实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解。

　　 例如：已知动点(x，y)所在区域是如图所示的阴影部分(包括边界)，则目标函数z＝x+2y的最小值和最大值分别为_____________。

　　 解：作直线x+2y＝0

　　　 平移此直线经过第一个点是(1，0)

　　

　　 再往上平移到最后一点为(4，4)

　　

[典型例题]

　 例1.

　　　

　　　

　　 解析：

　　　

　　

　　

　　

　　 ∴选C

　 例2.

　　　 解析1：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得斜率的范围，进而得到倾斜角的范围。

　　　 解析2：

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　 例3. 一条直线经过点P(2，3)，并且分别满足下列条件，求直线方程：

　　 (1)倾斜角是直线x－4y+3＝0的倾斜角的2倍。

　　 (2)与x，y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小。

　　 解：(1)设所求直线的倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则

　　

　　

　　

　　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　　

　 例4.

　　　 证明一：以B为坐标原点，直线BC为x轴，建立如图所示的直角坐标系。

　　　 取|BC|为单位长1，则各点坐标为：

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　 ∴AP⊥CP

　　　 证明二：以B为坐标原点，直线BC为x轴，建立如图所示的直角坐标系，过D作DF∥BE交AC于F点，取|BC|为单位长1，则

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　 ∴AP⊥CP

　　　 说明：数形结合强调的是将代数问题几何化，而解析法则是通过坐标系将几何问题代数化。

　 例5. 已知直线l₁：mx+8y+n＝0与l₂：2x+my－1＝0互相平行，求过点

　　 解：

　　　

　　　

　　　　　　　　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　　　　　　　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　 例6.

　　 解：

　　 解法1：在直线l₁上取一点B(2，0)，设点B关于直线l的对称点C的坐标为C(x₀，y₀)

　　

　　

　　

　　

　　

　 　解法2：

到角公式)：

　　

　　

　　

　　

　 例7.

　　　

　　　

　　　 解：

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　 (由三角形两边之差小于第三边)

　　　

　　　

且为1。

　　　

　　　 注：

　　　

　　　

　　　

　　　 　

　 例8.

　　　 A. 只能是(-3，0)

　　　 B. 只能是(0，6)

　　　 C. 只能是(-3，0)或(0，6)

　　　 D. 有无数个

　　　 解析：

　　　 则平移向量为(-3，0)，就可能误选A。

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　 显然(h，k)不唯一确定

　　　 ∴选D

　 例9.

　　 解：

　　　

　　　

　　　

带状区域，但不包括直线x＝1和x＝3上的点。

　　 所以，原不等式组表示的区域如图所示：

　 例10. 某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产量不少于15t，已知生产甲产品1t，需煤9t，电力4kW.h，劳动力3个；生产乙产品1t需煤4t，电力5kW.h，劳动力10个。甲产品每1t利润7万元，乙产品每1t利润12万元，但每天用煤不超过300t，电力不超过200kW.h，劳动力只有300个，问每天各生产甲、乙两种产品多少，能使利润总额达到最大？

　　　 分析：将已知数据列成表：

　　　 解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x t，y t，利润总额为z万元

　　　

　　　

　　　 如图作出可行域，作出一组平行直线7x+12y＝m(m为参数)中，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线，此直线过4x+5y＝200和3x+10y＝300的交点A(20，24)，即生产甲、乙两种产品分别为20t、24t时，利润总额最大，

　　　

[模拟试题]

1. 直线经过二、三、四象限，的倾斜角为，斜率为k，则(　 　)

　　 A. 　　　　　　　　　　　　　　 B.

　　 C. 　　　　　　　　　　　　　　 D.

2. 经过点(10，)且倾斜角的余弦值为的直线方程是(　　 )

　　　 A. 　　　　　　　　　　 B.

　　　 C. 　　　　　　　　　　　　 D.

3. 直线过点P(1，2)且与两坐标轴围成等腰三角形，则的方程为(　　 )

　　 A. 　　　　　　　　 B. 或

　　 C. 　　　　　　　　 D. 或

4. 已知两条直线，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，a的取值范围是(　　 )

　　　 A. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

　　　 C. 　　　　　 　　　 D.

5. 点A(4，5)关于直线的对称点为，则的方程为(　　 )

　　　 A. 　　　　　　　　　　　 B.

　　　 C. 　　　　　　　　　　　 D.

6. 在约束条件下，目标函数(　　 )

　　 A. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

　　 C. 　　　　　　　　　　　 D.

7. 从M(2，2)射出一条光线，经过x轴反射后过点N(，3)，则反射点P的坐标为__________。

8. 已知过点及Q(0，b)的直线的倾斜角介于120°与150°之间，则b的取值范围是______________。

9. 如果直线与直线平行，那么系数a等于__________。

10. 如果直线与直线互相垂直，那么a的值为________。

11. 直线过点(2，1)，且原点到的距离是1，则的方程是________________。

12. 如图，已知△ABC的三边方程分别为，BC：，CA：，求：

　　　 (1)∠B的大小；

　　　 (2)∠BAC的内角平分线所在直线的方程；

　　　 (3)AB边上的高所在直线的方程。

13. 若一直线被直线和截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线的方程。

14. 预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子、椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行。