1．指数函数

(1)通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的¹⁴C的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模型的实际背景；

(2)理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

(3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；

(4)在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。

3．知道指数函数与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1)。

指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。

预测对本节的考察是：

1．题型有两个选择题和一个解答题；

2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。

1．指数与对数运算

(1)根式的概念：

①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根。即若，则称的次方根，

1)当为奇数时，次方根记作；

2)当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作。

②性质：1)；2)当为奇数时，；

3)当为偶数时，。

(2)．幂的有关概念

①规定：1)N^*；2)；

　　　　　　　　　 n个

3)Q，4)、N^*　 且。

②性质：1)、Q)；

2)、　Q)；

3)　Q)。

(注)上述性质对r、R均适用。

(3)．对数的概念

①定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数。

1)以10为底的对数称常用对数，记作；

2)以无理数为底的对数称自然对数，，记作；

②基本性质：

1)真数N为正数(负数和零无对数)；2)；

3)；4)对数恒等式：。

③运算性质：如果则

1)；

2)；

3)R)。

④换底公式：

1)；2)。

2．指数函数与对数函数

(1)指数函数：

①定义：函数称指数函数，

1)函数的定义域为R；2)函数的值域为；

3)当时函数为减函数，当时函数为增函数。

　 ②函数图像：

1)指数函数的图象都经过点(0，1)，且图象都在第一、二象限；

2)指数函数都以轴为渐近线(当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴)；

3)对于相同的，函数的图象关于轴对称。

①， ②， ③ ①， ②， ③，

③函数值的变化特征：

(2)对数函数：

①定义：函数称对数函数，

1)函数的定义域为；2)函数的值域为R；

3)当时函数为减函数，当时函数为增函数；

4)对数函数与指数函数互为反函数。

②函数图像：

　 　

1)对数函数的图象都经过点(0，1)，且图象都在第一、四象限；

2)对数函数都以轴为渐近线(当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴)；

4)对于相同的，函数的图象关于轴对称。

③函数值的变化特征：

	①， ②， ③. ①， ②， ③.

　

题型1：指数运算

例1．(1)计算：；

(2)化简：。

解：(1)原式=

；

(2)原式=

。

点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。

例2．已知，求的值。

解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴。

点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。

题型2：对数运算

例3．计算

(1)；(2)；

(3)。

解：(1)原式

　　　　　 ；

(2)原式

　　　　　 ；

(3)分子=；

分母=；

原式=。

点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。

例4．设、、为正数，且满足　

(1)求证：；

(2)若，，求、、的值。

证明：(1)左边

；

解：(2)由得，

∴……………①

由得………… ……………②

由①②得……………………………………③

由①得，代入得，

∵， ∴………………………………④

由③、④解得，，从而。

点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。

题型3：指数、对数方程

例5．设关于的方程R)，

(1)若方程有实数解，求实数b的取值范围；

(2)当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。

解：(1)原方程为，

，

时方程有实数解；

(2)①当时，，∴方程有唯一解；

②当时，.

的解为；

令

的解为；

综合①、②，得

1)当时原方程有两解：；

2)当时，原方程有唯一解；

3)当时，原方程无解。

点评：具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经验。

例6．(2006辽宁 文13)方程的解为　　　　　 。

解：考察对数运算。原方程变形为，即，得。且有。从而结果为。

点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。

题型4：指数函数的概念与性质

例7．设(　　 )

A．0　　　　　 　B．1　　　 　　　　C．2　　　　　　　 D．3

解：C；，。

点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值。

例8．已知试求函数f(x)的单调区间。

解：令，则x=，t∈R。

所以即，(x∈R)。

因为f(－x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故只需讨论f(x)在[0，+∞)上的单调性。

任取，，且使，则

(1)当a>1时，由，有，，所以，即f(x)在[0，+∞]上单调递增。

(2)当0<a<1时，由，有，，所以，即f(x)在[0，+∞]上单调递增。

综合所述，[0，+∞]是f(x)的单调增区间，(－∞，0)是f(x)的单调区间。

点评：求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分两种情况来处理。

题型5：指数函数的图像与应用

例9．若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是(　　 )

A．m≤－1　　　　　 B．－1≤m<0　　　　　　 　C．m≥1　　 　　 　　D．0<m≤1

解：，

画图象可知－1≤m<0。

答案为B。

点评：本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征，解题的出发点仍然是两种情况下函数的图像特征。

例10．设函数的取值范围。

解：由于是增函数，等价于　　①

1)当时，，①式恒成立；

2)当时，，①式化为，即；

3)当时，，①式无解；

综上的取值范围是。

点评：处理含有指数式的不等式问题，借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为普通不等式问题(一元一次、一元二次不等式)来处理。

题型6：对数函数的概念与性质

例11．(1)函数的定义域是(　　 )

A．　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　 D．

(2)(2006湖北)设f(x)＝，则的定义域为(　　 )

A．　　　　　　 B．(－4,－1)(1，4)

C．(－2,－1)(1，2)　　　　　　 D．(－4,－2)(2，4)

解：(1)D(2)B。

点评：求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围，在对数函数中只有真数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系。

例12．对于，

(1)函数的“定义域为R”和“值域为R”是否是一回事；

(2)结合“实数a的取何值时在上有意义”与“实数a的取何值时函数的定义域为”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别；

(3)结合(1)(2)两问，说明实数a的取何值时的值域为

(4)实数a的取何值时在内是增函数。

解：记，则；

(1)不一样；

定义域为R恒成立。

得：，解得实数a的取值范围为。

值域为R：值域为R至少取遍所有的正实数，

则，解得实数a的取值范围为。

(2)实数a的取何值时在上有意义：

命题等价于对于任意恒成立，

则或，

解得实数a得取值范围为。

实数a的取何值时函数的定义域为：

由已知得二次不等式的解集为可得，则a=2。故a的取值范围为{2}。

区别：“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理，而“定义域问题”刚好转化成“取遍所有问题”来解决(这里转化成了解集问题，即取遍解集内所有的数值)

(3)易知得值域是，又得值域是，

得，故a得取值范围为{－1，1}。

(4)命题等价于在上为减函数，且对任意的恒成立，则，解得a得取值范围为。

点评：该题主要考察复合对数函数的定义域、值域以及单调性问题。解题过程中遇到了恒成立问题，“恒为正”与“取遍所有大于零的数”不等价，同时又考察了一元二次函数函数值的分布情况，解题过程中结合三个“二次”的重要结论来进行处理。

题型7：对数函数的图像及应用

例13．当a>1时，函数y=log_ax和y=(1－a)x的图象只可能是(　　 )

解：当a>1时，函数y=log_ax的图象只能在A和C中选，

又a>1时，y=(1－a)x为减函数。

答案：B

点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性。

例14．设A、B是函数y= log₂x图象上两点, 其横坐标分别为a和a+4, 直线l: x=a+2与函数y= log₂x图象交于点C, 与直线AB交于点D。

(1)求点D的坐标；

(2)当△ABC的面积大于1时, 求实数a的取值范围。

解：(1)易知D为线段AB的中点, 因A(a, log₂a ), B(a+4, log₂(a+4))，

所以由中点公式得D(a+2, log₂　)。

(2)S_△ABC=S_{梯形AA′CC′}+S_{梯形CC′B′B}- S_{梯形AA′B′B}=…= log₂,

其中A′,B′,C′为A,B,C在x轴上的射影。

由S_△ABC= log₂>1, 得0< a<2－2。

点评：解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理复杂问题。

题型8：指数函数、对数函数综合问题

例15．在xOy平面上有一点列P₁(a₁,b₁),P₂(a₂,b₂),…,P_n(a_n,b_n)…，对每个自然数n点P_n位于函数y=2000()^x(0<a<1)的图象上，且点P_n,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以P_n为顶点的等腰三角形。

(1)求点P_n的纵坐标b_n的表达式；

(2)若对于每个自然数n，以b_n,b_n+1,b_n+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；

(3)设C_n=lg(b_n)(n∈N^*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{C_n}前多少项的和最大？试说明理由。

解：(1)由题意知：a_n=n+,∴b_n=2000()。

(2)∵函数y=2000()^x(0<a<10)递减，

∴对每个自然数n,有b_n>b_n+1>b_n+2。

则以b_n,b_n+1,b_n+2为边长能构成一个三角形的充要条件是b_n+2+b_n+1>b_n，

即()²+()－1>0，

解得a<－5(1+)或a>5(－1)。

∴5(－1)<a<10。

(3)∵5(－1)<a<10，∴a=7

∴b_n=2000()。数列{b_n}是一个递减的正数数列，

对每个自然数n≥2,B_n=b_nB_n－1。

于是当b_n≥1时，B_n<B_n－1，当b_n<1时，B_n≤B_n－1，

因此数列{B_n}的最大项的项数n满足不等式b_n≥1且b_n+1<1，

由b_n=2000()≥1得：n≤20。

∴n=20。

点评：本题题设从函数图像入手，体现数形结合的优越性，最终还是根据函数性质结合数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。

例16．已知函数为常数)

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性。

(3)若函数y=f(x)是增函数，求a的取值范围。

解：(1)由

∵a＞0，x≥0

　　

∴f(x)的定义域是。

(2)若a=2，则

设　， 则

故f(x)为增函数。

(3)设

　

　 ①

∵f(x)是增函数，

∴f(x₁)＞f(x₂)

即　 ②

联立①、②知a＞1，

∴a∈(1，+∞)。

点评：该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可。

题型9：课标创新题

例17．对于在区间上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的，均有，则称f(x)与g(x)在上是接近的，否则称f(x)与g(x)在上是非接近的，现有两个函数与，给定区间。

(1)若与在给定区间上都有意义，求a的取值范围；

(2)讨论与在给定区间上是否是接近的。

解：(1)两个函数与在给定区间有意义，因为函数给定区间上单调递增，函数在给定区间上恒为正数，

故有意义当且仅当；

(2)构造函数，

对于函数来讲，

显然其在上单调递减，在上单调递增。

且在其定义域内一定是减函数。

由于，得

所以原函数在区间内单调递减，只需保证

当时，与在区间上是接近的；

　当时，与在区间上是非接近的。

点评：该题属于信息给予的题目，考生首先理解“接近”与“非接近”的含义，再对含有对数式的函数的是否“接近”进行研究，转化成含有对数因式的不等式问题，解不等式即可。

例18．设，，且，求的最小值。

解：令 ，

∵，，∴。

　 由得，∴，

　∴，∵，∴，即，∴，

　 ∴，

　∵，∴当时，。

点评：对数函数结合不等式知识处理最值问题，这是出题的一个亮点。同时考察了学生的变形能力。

1．(其中)是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；

2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化(分子或分母)、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；

3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；

4．指数、对数函数值的变化特点(上面知识结构表中的12个小点)是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析；

5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类；

6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数(特别是二次函数)形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力。