Question

如图所示，在水平地面上固定一倾角θ=37°的斜面体，物体A以某一初速度从斜面体底端沿斜面向上抛出，在物体A的正上方，有一物体B以某一初速度水平抛出．A、B均可看作质点，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．
（1）若斜面体表面光滑，将A物体以v₁=6m/s的初速度抛出，求物体A上滑到最高点所用的时间t．
（2）在第（1）问条件下，将A、B同时抛出，当A上滑到最高点时恰好被B物体击中，求物体B抛出时的初速度v₂．
（3）若斜面体表面粗糙且足够长，物体A与斜面间的动摩擦因数μ=0.5，物体A从最低点以v₃=10m/s的初速度沿斜面向上抛出，B仍以初速度v₂水平抛出，为使B抛出后仍能击中A，求A、B开始运动时相差的时间间隔 （结果可保留根号）．

Answer 1

分析：（1）根据牛顿第二定律求出物体上滑的加速度，根据速度时间公式求出物体A上滑到最高点所用的时间．
（2）根据速度位移公式求出A上滑的最大位移，从而得出B的水平位移，结合平抛运动水平方向上的运动规律求出物体B抛出时的初速度．
（3）若A在上滑的过程中与B相遇，根据牛顿第二定律求出A上滑的加速度，结合运动学公式求出时间之差；若A在下滑过程中与B相遇，根据牛顿第二定律求出A下滑的加速度，结合运动学公式求出时间之差．

解答：解：（1）对A，根据牛顿第二定律得，a=

mAgsinθ

mA

=gsin37°=6m/s2．
根据速度时间公式得，t=

v1

a

=

6

6

s=1s．
（2）A上滑的最大位移s=

v12

2a

=

62

2×6

m=3m．
对B：x=scosθ=3×0.8m=2.4m．
则B的初速度：v2=

x

t

=2.4m/s．
（3）A沿斜面上滑：
根据牛顿第二定律得，a1=g(sinθ+μcosθ)=10m/s2．
根据速度位移公式得，v32-v42=2a1s
所以v4=

v32-2a1s

=2

10

m/s．
所以t1=

v3-v4

a1

=

10-2 10

10

s=(1-

10

5

)s．
要使A、B相遇，B可超前A抛出，
超前时间△t1=t-t1=

10

5

s
A从抛出到滑到最高点：t1′=

v3

a1

=

10

10

s=1s．
s1=

v32

2a1

=

102

2×10

m=5m
A从最高点下滑：
a2=g(sinθ-μcosθ)=2m/s2．
s₂=s₁-s=2m
t2′=

2s2 a2

=

2×2 2

s=

2

s．
所以t2=t1′+t2′=(1+

2

)s
要使AB相遇，B可落后A抛出，
落后时间△t2=t2-t=

2

s
答：（1）物体A上滑到最高点所用的时间为1s．
（2）物体B抛出时的初速度为2.4m/s．
（3）A、B开始运动时相差的时间间隔为

10

5

s或

2

s．

点评：解决本题的关键理清物体的运动规律，结合运动学公式灵活求解，注意A、B可能在A上滑的过程中相遇，也可能在A下滑过程中相遇．