Question

现根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．万有引力常量为G．求：
（1）试计算该双星系统的运动周期T．
（2）若实验上观测到运动周期为T’，且Tn：T=1：

N

(N＞1)，为了解释两者的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的物质--暗物质，作为一种简化的模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度．

Answer 1

分析：（1）双星系统围绕两者连线的中点做圆周运动，相互间万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律求解运动周期T．
（2）假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，双星系统就由相互间的万有引力的暗物质的引力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求出暗物质的质量，再求解其密度．

解答：解：（1）由万有引力提供向心力有：

GM2

L2

=M?

L

2

?

4π2

T2

  ①
解得T=πL

2L GM

（2）设暗物的密度为ρ，质量为m，则
m=ρ?

4

3

π(

L

2

)3=πρ?

L3

6

再由万有引力提供向心力有：

GM2

L2

+

GMm

( L 2 )2

=M?

L

2

?

4π2

Tn2

 ②
由

①

②

得：

M

M+4m

=(

Tn

T

)2=

1

N

又m=πρ?

L3

6

代入上式解得：
  ρ=

3(N-1)M

2πL3

答：
（1）该双星系统的运动周期T=πL

2L GM

．
（2）该星系间这种暗物质的密度为ρ=

3(N-1)M

2πL3

．

点评：对于双星问题和暗物质问题，关键都要建立模型，确定向心力的来源．若双星圆周运动的圆心不在连线的中点，要采用隔离法研究．