Question

如图，在区域Ⅰ（0≤x≤d）和区域Ⅱ（d＜x≤2d）内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面．一质量为m、带电荷量q（q＞0）的粒子a于某时刻从y轴上的P点射入区域Ⅰ，其速度方向沿x轴正向．已知a在离开区域Ⅰ时，速度方向与x轴正向的夹角为30°；此时，另一质量和电荷量均与a相同的粒子b也从P点沿x轴正向射入区域Ⅰ，其速度大小是a的1/3，不计重力和两粒子之间的相互作用力，求：
（1）粒子a射入区域Ⅰ时速度的大小；
（2）当a离开区域Ⅱ时，a、b两粒子的y坐标之差．

Answer 1

分析：（1）根据洛伦兹力提供向心力，运用几何关系求出粒子的轨道半径，结合牛顿第二定律求出粒子a射入区域Ⅰ时速度的大小．
（2）通过洛伦兹力提供向心力，得出a粒子在区域Ⅱ中的轨道半径是区域Ⅰ中的一半，结合几何关系得出a粒子离开区域Ⅱ时，a粒子的纵坐标．根据时间关系通过几何关系求出当a离开区域Ⅱ时，b粒子的纵坐标，从而得出a、b两粒子的y坐标之差．

解答：解：（1）设粒子a在I内做匀速圆周运动的圆心为C（在y轴上），半径为R_a1，粒子速率为v_a，运动轨迹与两磁场区域边界的交点为P'，如图
由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得qvaB=m

va2

Ra1

①
由几何关系得∠PCP′=θ　②，Ra1=

d

sinθ

③，式中 θ=30°
由①②③式得 va1=

2qBd

m

④
（2）设粒子a在II内做圆周运动的圆心为O_a，半径为R_a1，射出点为P_a（图中未画出轨迹），∠P′O_aP_a=θ′．
由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得qva(2B)=m

va2

Ra2

⑤
由①⑤式得 Ra2=

Ra1

2

⑥
C、P'和O_a三点共线，且由⑥式知O_a点必位于x=

3

2

d ⑦的平面上．由对称性知，P_a点与P'点纵坐标相同，
即 y₁=R_a1cosθ+h⑧式中，h是C点的y坐标
设b在I中运动的轨道半径为R_b1，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得
q(

va

3

)B=

m

Rb1

(

va

3

)2⑨
设a到达P_a点时，b位于P_b点，转过的角度为α．如果b没有飞出I，则

t

Ta2

=

θ′

2π

⑩，

t

Tb1

=

α

2π

，（11）
式中，t是a在区域II中运动的时间，而
Ta2=

2πRa2

v

（12），Tb1=

2πRb1

v 3

 （13）
由⑤⑨⑩（11）（12）式得
α=30°（14）
由①③⑨（14）式可见，b没有飞出．P_b点的y坐标为 y₂=R_b1（2+cosα）+h
由①③⑧⑨式及题给条件得，a、b两粒子的y坐标之差为 y1-y2=

2

3

(

3

-2)d．
答：（1）粒子a射入区域Ⅰ时速度的大小va1=

2qBd

m

．
（2）当a离开区域Ⅱ时，a、b两粒子的y坐标之差为y1-y2=

2

3

(

3

-2)d．

点评：本题考查带电粒子在磁场中的运动，需掌握粒子在磁场中运动的轨道半径公式，能够正确地作出轨迹图，运用几何关系求解．